Calcule a integral dupla da função f(x,y)=2x+3y sobre o domínio D que é a região triangular delimitada pelos pontos (0,0)(0,0), (2,0)(2,0), e (1,3)...

Para calcular a integral dupla da função f(x,y)=2x+3y sobre o domínio D que é a região triangular delimitada pelos pontos (0,0), (2,0), e (1,3), podemos utilizar o Teorema de Fubini. Primeiro, vamos encontrar os limites de integração para x e y. Para x, temos que a região D é delimitada pela reta que passa pelos pontos (0,0) e (1,3) e pela reta que passa pelos pontos (2,0) e (1,3). A equação da reta que passa pelos pontos (0,0) e (1,3) é y = 3x, e a equação da reta que passa pelos pontos (2,0) e (1,3) é y = -3x + 3. Portanto, os limites de integração para x são 0 ≤ x ≤ 1 para a primeira reta e 1 ≤ x ≤ 2 para a segunda reta. Para y, a região D é delimitada pela base da região, que é o segmento de reta que liga os pontos (0,0) e (2,0), e pela reta que passa pelo ponto (1,3) e é paralela à base. A equação da base é y = 0, e a equação da reta paralela à base que passa pelo ponto (1,3) é y = (3/2)x - (3/2). Portanto, os limites de integração para y são 0 ≤ y ≤ (3/2)x para a base e (3/2)x - (3/2) ≤ y ≤ 3 para a reta paralela à base. Agora, podemos escrever a integral dupla como: ∬D f(x,y) dA = ∫0¹ ∫0^(3/2)x (2x+3y) dy dx + ∫1² ∫(3/2)x-3/2³ (2x+3y) dy dx Resolvendo as integrais, temos: ∬D f(x,y) dA = ∫0¹ ∫0^(3/2)x (2x+3y) dy dx + ∫1² ∫(3/2)x-3/2³ (2x+3y) dy dx = ∫0¹ [(2x)y + (3/2)y²] de 0 até 3/2x dx + ∫1² [(2x)y + (3/2)y²] de 3/2x-3/2 até 3 de y dx = ∫0¹ [(2x)(3/2)x + (3/2)(3/2)x²] dx + ∫1² [(2x)(3/2)x + (3/2)(3/2)x²] dx = (9/4)∫0¹ x dx + (9/4)∫1² x dx + (27/8)∫0¹ x² dx + (27/8)∫1² x² dx = (9/4)(1/2) + (9/4)(1/2) + (27/8)(1/3) + (27/8)(7/3) = 9/2 + 81/8 = 45/4 Portanto, a integral dupla da função f(x,y)=2x+3y sobre o domínio D é igual a 45/4.