Questão resolvida - Calcule a integral dupla dada pela equação_r (2x - y) dA, Sabendo que R é uma região triangular compreendida pelas retas_ y -x 1, y x 1 e y 3 - Cálculo II

Prévia do material em texto

Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas / WhatsAPP: (71) 9927-17449
 
Visite meu perfil e/ou meu grupo no site Passei Direto, confira mais questões ou deixe alguma no grupo para ser resolvida: 
Perfil - https://www.passeidireto.com/perfil/tiago-pimenta/
Grupo - https://www.passeidireto.com/grupos/109427150/publicacoes
 
Calcule a integral dupla dada pela equação:
 
2x - y dA
R
∫ ∫ 2
 
Sabendo que é uma região triângular compreendida pelas retasR
 
y = -x + 1, y = x + 1 e y = 3
 
 
Resolução:
 
Primeiro, devemos encontrar a região para definir os limites de integração. R
 
Se nas 2 primeiras equações;y = 0
 
0 = -x + 1 -x + 1 = 0 -x = -1 ⋅ -1 x = 1 intercessão com x→ → ( ) ( ) → →
 
 
0 = x + 1 x + 1 = 0 x = -1 intercessão com x→ → →
 
Se nas 2 primeiras equações;x = 0
 
y = -0 + 1 y = 1 intercessão com y→ →
 
 
y = 0 + 1 y = 1 intercessão com y→ →
 
 representa uma reta paralela ao que toca o eixo em .y = 3 x y 3
 
 
Agora, vamos encontrar onde as retas se crusam igualando-as;
 
-x + 1 = x + 1 -x - x = 1 - 1 -2x = 0 x = x = 0 as retas se crusam quando→ → →
0
-2
→ →
x é zero
 
 
3 = -x + 1 -x + 1 = 3 -x = 3 - 1 -x = 2 ⋅ -1 x = -2 as retas se crusam→ → → ( ) ( ) → →
 quando x é igual a - 2
 
 
3 = x + 1 x + 1 = 3 x = 3 - 1 x = 2 as retas se crusam→ → → →
 quando x é igual a 2
 
Com essas informações, podemos montar o gráfico da região de integração , como visto R
posteriormente;
 
 
Perceba que, pela simetria da figura, a divisão da região pelo eixo forma 2 regiões iguais;R y
Assim, vamos achar a integral para o volume de metade da região e multiplicar por 2. Como 
as curvas estão em função de : o limite de integração vai de a em e de x 0 2 x y = -x + 1
até , ou seja, vai dá curva de baixo até a curva de cima em (Obs.: poderiamos y = 3 y
colocar as curvas em função de e ter outros limites de integração, porém, neste caso, y
tornaria o cálculo mais trabalhoso), assim, a integral dupla sobre a região deve ser como R
visto a seguir;
 
I = 2 2x - y dydx
2
0
∫
3
∫
-x + 1
2
 
Resolvendo a integral dupla definida;
 
V = 2 6x - 3 - 2x -x + 1 + dx = 2 6x - 9 + 2x - 2x + dx
2
0
∫ 2 ( ) -x + 1
3
( )3 2
0
∫ 2 -x + 1
3
( )3
 
 
V = 2 2xy - dy = 2 2x ⋅ 3 - - 2x -x + 1 -
2
0
∫ y
3
3 3
-x + 1
2
0
∫ 3
3
3
( )
-x + 1
3
( )3
2
V = 2 2x + 4x - 9 + dx = 2 ⋅ + - 9x +
2
0
∫ 2 -x + 1
3
( )3 2x
3
3 2
0
4x
2
2 2
0
2
0
2
0
∫ -x + 1
3
( )3
2
V = 2 ⋅ + 2x - 9x + dx
2x
3
3 2
0
2
2
0
2
0
2
0
∫ -x + 1
3
( )3
Vamos resolver a integral que sobrou separadamente, em sua forma indefinida;
 
dx, u = - x + 1 du = -dx∫ -x + 1
3
( )3
→
 -dx = du ⋅ -1 dx = -du( ) ( ) →
 
Substituindo e resolvendo dx = -du = - du = - + c→∫ -x + 1
3
( )3 ∫u
3
3
( ) ∫u
3
3 u
4 ⋅ 3
4
 
 dx = - + c∫ -x + 1
3
( )3 -x + 1
12
( )4
 
Voltando, temos que o volume é;
 
V = 2 ⋅ + 2x - 9x -
2x
3
3 2
0
2
2
0
2
0
-x + 1
12
( )4 2
0
 
I = - 
28
3
(OBS.: Como o valor da integral resultou em um valor nagativo, o volume defido pela região 
e a curva está abaixo do eixo ) z
 
 
I = 2 ⋅ - + 2 ⋅ 2 - 2 ⋅ 0 + -9 ⋅ 2 - -9 ⋅ 0 + - - -2
⋅ 2
3
3 2 ⋅ 0
3
3
2 2 ( ( ))
-2 + 1
12
( )4 -0 + 1
12
( )4
00 0
I = 2 ⋅ + 2 ⋅ 4 - 18 - + = 2 ⋅ + 8 - 18 - +
2 ⋅ 8
3
-1
12
( )4 1
12
( )4 16
3
1
12
1
12
 I = 2 ⋅ - 10 = 2 ⋅ = 2 ⋅
16
3
16 - 30
3
-14
3
(Resposta )