1) Seja X uma variavel aleatória discreta com valores possíveis x1, x2, ..., xn e probabilidades correspondentes p1, p2, ..., pn. Prove as seguinte...

1) Seja X uma variavel aleatória discreta com valores possíveis x₁, x₂, ..., x_n e probabilidades correspondentes p₁, p₂, ..., p_n. Prove as seguintes propriedades da Esperança:

a) Propriedade da soma: sejam X e Y duas variáveis aleatórias, então E[X + Y] = E[X] + E[Y].

b) Propriedade da multiplicação por uma constante: se a é uma constante real, então: E[aX] = aE[X].

c) Propriedade da mudança de escala: se b e uma constante positiva, então E[bX] = bE[X].

d) Linearidade: Sejam a e b constantes reais. Mostre que E[aX + b] = aE[X] + b.

e) Lei das expectativas iteradas: sejam X e Y duas variaveis aleatórias e suponha que Y seja não degenerada, ou seja, P(Y = y) > 0 para algum valor y. Então E[X] = E[E[X|Y]].