Seja X uma variável aleatória com distribuição Normal, com esperança  e desvio padrão . Sejam X1, X2, …, Xn, n observações de X, independentes en...

a. Calcule P{ - 8 < S100 <  + 8}: Para calcular essa probabilidade, precisamos padronizar a variável aleatória S100, que é a soma de 100 observações independentes de uma distribuição normal com média 100c1 e desvio padrão 10. Assim, temos: Z = (S100 - ) / ( * sqrt(n)) = (S100 - 100c1) / (10 * sqrt(100)) Z = (S100 - 100c1) / 10 P{ - 8 < S100 <  + 8} = P{-0,8 < Z < 0,8} Podemos encontrar essa probabilidade na tabela da distribuição normal padrão ou usando uma calculadora estatística. Para Z = 0,8, temos P(Z < 0,8) = 0,7881 e para Z = -0,8, temos P(Z < -0,8) = 0,2119. Então: P{-0,8 < Z < 0,8} = P(Z < 0,8) - P(Z < -0,8) = 0,7881 - 0,2119 = 0,5762 Portanto, P{ - 8 < S100 <  + 8} = 0,5762. b. k = 1,28: Não foi especificado o que deve ser calculado com o valor de k = 1,28. Por favor, especifique a pergunta. c. X̅ ~ N(100,1): Não é possível que a média X̅ de uma amostra de uma distribuição normal com média 100c1 e desvio padrão 10 seja uma distribuição normal com média 100 e desvio padrão 1. Por favor, verifique a pergunta. d. Y ~ N(252,400) e Y̅ ~ N(252,4): Se Y = aX + b, então E(Y) = aE(X) + b e Var(Y) = a^2Var(X). Como X tem distribuição normal com média  e desvio padrão , temos: E(Y) = a + b e Var(Y) = a^2^2 Substituindo os valores dados, temos: E(Y) = (c1 + 1) * 100 + 50 + c2 = 100c1 + c1 + 50 + c2 + 50 = 100c1 + c1 + c2 + 100 Var(Y) = (c1 + 1)^2 * 100 = 100c1^2 + 200c1 + 100 Portanto, Y tem distribuição normal com média 100c1 + c1 + c2 + 100 e desvio padrão sqrt(100c1^2 + 200c1 + 100) = 10 * sqrt(c1^2 + 2c1 + 1) = 10 * (c1 + 1). Assim, temos: Y ~ N(100c1 + c1 + c2 + 100, 10 * (c1 + 1)^2) Para Y̅, temos: E(Y̅) = E(aX + b) / n = aE(X) + b / n = (c1 + 1) * 100 + 50 / 100 = c1 + 1,5 Var(Y̅) = Var(aX + b) / n^2 = a^2Var(X) / n^2 = (c1 + 1)^2 * 100 / 100^2 = (c1 + 1)^2 / 100 Portanto, Y̅ tem distribuição normal com média c1 + 1,5 e desvio padrão sqrt((c1 + 1)^2 / 100) = (c1 + 1) / 10. Assim, temos: Y̅ ~ N(c1 + 1,5, (c1 + 1) / 10) e. A probabilidade de cometer um erro absoluto superior a 1 é de 0,032: Não foi especificado qual é a variável aleatória em questão. Por favor, especifique a pergunta. f. n = 385 para a probabilidade ser igual a 0,01 e n = 100 para P{| X̅ − μ| < 0,1} = 0,95: Para a primeira parte da questão, precisamos encontrar o valor de n para que a probabilidade de que a média amostral X̅ esteja a uma distância maior do que 0,1 da média populacional  seja igual a 0,01. Como X tem distribuição normal com média  e desvio padrão , temos: P{| X̅ − μ| > 0,1} = P{| Z | > 0,1 * sqrt(n)} = 0,01 onde Z = (X̅ - ) / ( / sqrt(n)) é uma variável aleatória com distribuição normal padrão. Podemos encontrar o valor de sqrt(n) na tabela da distribuição normal padrão ou usando uma calculadora estatística. Para Z = 2,33, temos P(Z > 2,33) = 0,01. Então: 0,1 * sqrt(n) = 2,33 sqrt(n) = 23,3 n = 23,3^2 = 540,89 Portanto, n = 541 para que a probabilidade de cometer um erro absoluto superior a 0,1 seja igual a 0,01. Para a segunda parte da questão, precisamos encontrar o valor de n para que a probabilidade de que a média amostral X̅ esteja a uma distância menor do que 0,1 da média populacional  seja igual a 0,95. Assim, temos: P{| X̅ − μ| < 0,1} = P{| Z | < 0,1 * sqrt(n)} = 0,95 onde Z = (X̅ - ) / ( / sqrt(n)) é uma variável aleatória com distribuição normal padrão. Podemos encontrar o valor de sqrt(n) na tabela da distribuição normal padrão ou usando uma calculadora estatística. Para Z = 1,96, temos P(-1,96 < Z < 1,96) = 0,95. Então: 0,1 * sqrt(n) = 1,96 sqrt(n) = 19,6 n = 19,6^2 = 384,16 Portanto, n = 385 para que a probabilidade de cometer um erro absoluto superior a 0,1 seja igual a 0,05.