. O teorema do valor médio, se escrito na forma é e se permite uma interpretação geométrica para a integral dupla como sendo o volume do...

O teorema do valor médio para integrais duplas afirma que se f(x,y) é uma função contínua em uma região D do plano xy, então existe um ponto (c,d) em D tal que: f(c,d) = (1/Área(D)) * ∬D f(x,y) dA Onde Área(D) é a área da região D e dA é o elemento de área. Para calcular o valor médio da função f(x,y) = x^2 + y^2 na região D limitada pelo círculo x^2 + y^2 = 1, temos que calcular a integral dupla de f(x,y) sobre D e dividir pelo valor da área de D. Podemos fazer a integral em coordenadas polares, onde x = r cos(θ) e y = r sin(θ), e a região D é descrita por 0 ≤ r ≤ 1 e 0 ≤ θ ≤ 2π. Então temos: ∬D f(x,y) dA = ∫₀²π ∫₀¹ (r^2) r dr dθ = ∫₀²π dθ ∫₀¹ r^3 dr = 2π * (1/4) = π/2 A área de D é dada por: Área(D) = ∫₀²π ∫₀¹ r dr dθ = ∫₀²π dθ ∫₀¹ r dr = 2π * (1/2) = π Então, o valor médio de f(x,y) em D é: f(c,d) = (1/Área(D)) * ∬D f(x,y) dA = (1/π) * (π/2) = 1/2 Portanto, a alternativa correta é a letra A) 0,16.