​​​​​​​As coordenadas do centro de massa de uma lâmina de densidade superficial de massa é determinada utilizando a integral: ​​​​​​​ As...

Para determinar as coordenadas do centro de massa de uma lâmina de densidade superficial de massa, podemos utilizar as seguintes fórmulas: $$\bar{x} = \frac{\iint_D x f(x,y) dA}{\iint_D f(x,y) dA}$$ $$\bar{y} = \frac{\iint_D y f(x,y) dA}{\iint_D f(x,y) dA}$$ Onde $f(x,y)$ é a densidade da lâmina, $D$ é a região da lâmina e $dA$ é um elemento de área. No caso da região $D$ ser um triângulo com vértices em $(0,0)$, $(0,1)$ e $(1,0)$, podemos escrever as coordenadas do centro de massa como: $$\bar{x} = \frac{\iint_D x f(x,y) dA}{\iint_D f(x,y) dA} = \frac{\int_0^1 \int_0^{1-y} x \cdot \rho \, dx \, dy}{\int_0^1 \int_0^{1-y} \rho \, dx \, dy}$$ $$\bar{y} = \frac{\iint_D y f(x,y) dA}{\iint_D f(x,y) dA} = \frac{\int_0^1 \int_0^{1-y} y \cdot \rho \, dx \, dy}{\int_0^1 \int_0^{1-y} \rho \, dx \, dy}$$ Onde $\rho$ é a densidade superficial de massa da lâmina. Resolvendo as integrais, temos: $$\bar{x} = \frac{\rho}{2}$$ $$\bar{y} = \frac{\rho}{2}$$ Portanto, as coordenadas do centro de massa da lâmina são $(\frac{\rho}{2}, \frac{\rho}{2})$.