Cálculos em Física e Matemática

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Cálculo IV – AD2 – Tutor
Questão 1 [2,5 pts]: Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças
~F(x, y, z) = (x + y + z)~ı + (x − 2y + 3z)~ + (2x + y − z)~k
para mover uma part́ıcula ao longo da curva C que liga a origem ao ponto A = (2, 3, 4), através de
três segmentos retiĺıneos: o primeiro na porção do eixo x, o segundo paralelo ao eixo y e o terceiro
paralelo ao eixo z.
Solução: O esboço da curva C = C1 ∪C2 ∪C3 é:
x
y
z
4
3
2
(2, 3, 4)
C1
C2
C3
Por propriedades de integral de linha, temos∫
C
~F · d~r =
∫
C1
~F · d~r +
∫
C2
~F · d~r +
∫
C3
~F · d~r.
• Cálculo de
∫
C1
~F · d~r =
∫
C1
(x + y + z) dx + (x − 2y + 3z) dy + (2x + y − z) dz.
Temos:
C1 : 0 ≤ x ≤ 2 , y = 0 , z = 0 ,
donde dy = 0, dz = 0.
Logo, ∫
C1
~F · d~r =
∫ 2
0
(x + 0 + 0) dx + 0 + 0 =
∫ 2
0
x dx =
[ x2
2
]2
0 = 2.
Ou seja,
∫
C1
~F · d~r = 2.
• Cálculo de
∫
C2
~F · d~r =
∫
C2
(x + y + z) dx + (x − 2y + 3z) dy + (2x + y − z) dz.
Cálculo IV – AD2 AD2 – Tutor 2
Temos
C2 : 0 ≤ y ≤ 3 , x = 2 , z = 0
donde dx = 0 , dz = 0.
Logo, ∫
C2
~F · d~r =
∫ 3
0
0 + (2 − 2y + 0) dy + 0 =
∫ 3
0
(2 − 2y) dy =
[
2y − y2]3
0 = 6 − 9 = −3.
Ou seja,
∫
C2
~F · d~r = −3.
• Cálculo de
∫
C3
~F · d~r =
∫
C3
(x + y + z) dx + (x − 2y + 3z) dy + (2x + y − z) dz.
Temos
C3 : 0 ≤ z ≤ 4 , x = 2 , y = 3
donde dx = 0 , dy = 0.
Logo, ∫
C3
~F · d~r =
∫ 4
0
0 + 0 + (2 · 2 + 3 − z) dz =
∫ 4
0
(7 − z) dz =
[
7z −
z2
2
]4
0 = 28 − 8 = 20.
Ou seja,
∫
C3
~F · d~r = 20.
Assim, substituindo acima, temos ∫
C
~F · d~r = 2 − 3 + 20 = 19.
Como o trabalho W realizado por ~F ao longo de C é dado por W =
∫
C
~F · d~r, então W = 19 u.w.
Questão 2 [2,5 pts]: Seja f :]a, b[−→ R uma função com derivada cont́ınua no intervalo aberto
]a, b[. Determine em que região do plano xy o campo vetorial ~F(x, y) = y f (xy)~ı + x f (xy)~ é
conservativo.
Solução: Observamos que o campo vetorial ~F = (P,Q) = (y f (xy) , x f (xy)) é de classe C1 no
conjunto aberto D =
{
(x, y) ∈ R2 ; a < xy < b
}
, cujo esboço está ilustrado abaixo.
x
y
a b
D
y = b
x
y = a
x
Temos
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Cálculo IV – AD2 AD2 – Tutor 3
∂Q
∂x
=
∂(x f (xy))
∂x
= f (xy) + x f ′(xy)
∂(xy)
∂x
= f (xy) + xy f ′(xy)
∂P
∂y
=
∂(y f (xy))
∂y
= f (xy) + y f ′(xy)
∂(xy)
∂y
= f (xy) + xy f ′(xy)
Donde,
∂Q
∂x
−
∂P
∂y
= 0 em D.
Como D ⊂ R2 é um conjunto simplesmente conexo, então, pelo teorema das equivalências, segue
que ~F é conservativo em D.
Questão 3 [2,5 pts]: Calcule
∫
(x2 − y) dx + xy dy, onde C é a semicardioide r = 1 + cos θ,
0 ≤ θ ≤ π.
Solução: O esboço de C é:
x
y
2
1 C
Consideremos a curva fechada C = C ∪C1, onde C1 é dada por
C1 : y = 0 , 0 ≤ x ≤ 2 (e portanto dy = 0).
Seja D a região compacta, limitada por C. Como o campo ~F = (P,Q) = (x2 − y , xy) é de classe C1
em R2 e C = ∂D está orientada positivamente, então podemos aplicar o teorema de Green:∫
C
~F · d~r +
∫
C1
~F · d~r =
�
C
~F · d~r =
∫∫
D
(
∂Q
∂x
−
∂P
∂y
)
dx dy =
∫∫
D
(y + 1) dx dy.
Por coordenadas polares, temos:
x = r cos θ , y = r sen θ , dx dy = r dr dθ , x2 + y2 = r2.
A região D transforma-se em:
Drθ : 0 ≤ θ ≤ π , 0 ≤ r ≤ 1 + cos θ.
Assim,∫∫
D
(y + 1) dx dy =
∫∫
Drθ
(r sen θ + 1) r dr dθ =
∫ π
0
∫ 1+cos θ
0
(r2 sen θ + r) dr dθ
=
∫ π
0
[
r3
3
]1+cos θ
0
sen θ +
[
r2
2
]1+cos θ
0
dθ =
∫ π
0
1
3
(1 + cos θ)3 sen θ +
1
2
(1 + cos θ)2 dθ
=
1
3
∫ π
0
(1 + cos θ)3 sen θ dθ +
1
2
∫ π
0
(1 + 2 cos θ + cos2 θ) dθ
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Cálculo IV – AD2 AD2 – Tutor 4
= −
1
3
[
(1 + cos θ)4
4
]π
0
+
1
2
[
θ + 2 sen θ +
1
2
(
θ +
sen 2θ
2
)]π
0
= −
1
12
(0 − 16) +
1
2
(
π + 0 +
π
2
)
=
4
3
+
3π
4
.
Assim, ∫
C
~F · d~r +
∫
C1
~F · d~r =
4
3
+
3π
4
.
Mas,∫
C1
~F · d~r =
∫
C1
P(x, y) dx + Q(x, y) dy =
∫ 2
0
P(x, 0) dx + Q(x, 0)︸ ︷︷ ︸
=0
dy =
∫ 2
0
(x2 − 0) dx =
[
x3
3
]2
0
=
8
3
.
Logo,
∫
C
~F · d~r =
4
3
+
3π
4
−
8
3
, ou ∫
C
(x2 − y) dx + xy dy =
3π
4
−
4
3
.
Questão 4 [2,5 pts]: Calcule a área da porção do cilindro y2 + z2 = 16, acima da região triangular
Dxy : 0 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ 2 − x.
Solução: O esboço de S e de sua projeção no plano xy estão ilustrados abaixo:
x
y
z
4
4
22
S
x
y
2
2
Dxy
x+y=2
x=2−yx=0
A superf́ıcie S é descrita por
S : z =
√
16 − y2 , (x, y) ∈ Dxy : 0 ≤ y ≤ 2 , 0 ≤ x ≤ 2 − y.
A área de S é dada por
A(S ) =
∫∫
Dxy
√
1 + (zx)2 + (zy)2 dx dy
Onde √
1 + (zx)2 + (zy)2 =
4√
16 − y2
.
Então,
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Cálculo IV – AD2 AD2 – Tutor 5
A(S ) = 4
∫ 2
0
∫ 2−y
0
1√
16 − y2
dx dy = 4
∫ 2
0
2 − y√
16 − y2
dy = 4

∫ 2
0
2√
16 − y2
dy −
∫ 2
0
y√
16 − y2
dy
 .
• Cálculo de
∫ 2
0
2√
16 − y2
dy.
Fazendo u =
y
4
, temos du =
dy
4
. Para y = 0, temos u = 0 e para y = 2, temos u =
1
2
. Logo,∫ 2
0
2√
16 − y2
dy =
∫ 1/2
0
8
4
√
1 − u2
du =
[
2 arcsen u
]1/2
0
= 2 arcsen
1
2
− 2 arcsen 0 = 2
π
6
=
π
3
.
• Cálculo de
∫ 2
0
y√
16 − y2
dy.
Fazendo u = 16 − y2, temos du = −2y dy. Para y = 0, temos u = 16 e para y = 2, temos u = 12.
Logo,∫ 2
0
y√
16 − y2
dy =
∫ 12
16
−du/2
√
u
= −
1
2
∫ 12
16
u−1/2 du = −
1
2
· 2
[
u1/2
]12
16
= −
(
2
√
3 − 4
)
= 4 − 2
√
3.
Substituindo acima, temos
A(S ) = 4
[
π
3
−
(
4 − 2
√
3
)]
= 4
(
π
3
− 4 + 2
√
3
)
.
Ou seja,
A(S ) =
4π
3
− 16 + 8
√
3 u.a.
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