A reta ,px + y + r = 0 , p e r reais, é tangente a função f(x) = 13ln(x 2 + 4x + 8)

Para que a reta seja tangente à função, é necessário que ela toque a curva em apenas um ponto. Além disso, a inclinação da reta deve ser igual à inclinação da curva nesse ponto. A inclinação da reta é -p, pois o coeficiente de x é p. Já a inclinação da curva no ponto de tangência pode ser encontrada derivando a função f(x) e substituindo o valor de x correspondente ao ponto de tangência. Assim, temos: f(x) = 13ln(x^2 + 4x + 8) f'(x) = 26(x+2)/(x^2+4x+8) Para encontrar o ponto de tangência, é necessário igualar a inclinação da reta à inclinação da curva: -p = f'(x) Substituindo a expressão de f'(x), temos: -p = 26(x+2)/(x^2+4x+8) Multiplicando ambos os lados por x^2+4x+8 e simplificando, obtemos: -p(x^2+4x+8) = 26(x+2) -p(x^2+4x+8) - 26(x+2) = 0 Essa é uma equação do segundo grau em x. Como a reta é tangente à curva em apenas um ponto, a equação deve ter apenas uma raiz real. Isso ocorre quando o discriminante da equação é igual a zero: (4p+13)^2 - 4p(8p-52) = 0 Resolvendo essa equação, encontramos: p = 13/8 ou p = -5/8 Portanto, as possíveis equações da reta são: 8x + 13y + 8 = 0 ou -5x + 8y - 52 = 0 Note que, para cada valor de p, há uma equação correspondente da reta que é tangente à curva.