A reta px+y+r=0????????+????+????=0 , p e r reais, é tangente a função f(x)=13ln(x2+4x+8)????(????)=13????????(????2+4????+8), no ponto de abscissa igual a 1. Determin...

Primeiramente, vamos encontrar a derivada da função f(x): f(x) = 13ln(x² + 4x + 8) f'(x) = 13 * 1/(x² + 4x + 8) * (2x + 4) f'(1) = 13 * 1/(1² + 4*1 + 8) * (2*1 + 4) f'(1) = 13/13 * 6 f'(1) = 6 Agora, sabemos que a reta é tangente à função f(x) no ponto de abscissa igual a 1. Portanto, a reta deve ter a mesma inclinação da reta tangente à função nesse ponto. A inclinação da reta tangente à função f(x) no ponto de abscissa igual a 1 é dada pela derivada da função nesse ponto, ou seja, f'(1) = 6. A equação da reta que passa pelo ponto (1, f(1)) e tem inclinação 6 é dada por: y - f(1) = 6(x - 1) Substituindo f(1) por 13ln(13) na equação acima, temos: y - 13ln(13) = 6(x - 1) px + y + r = 0 Substituindo y por 13ln(x² + 4x + 8) na equação acima, temos: px + 13ln(x² + 4x + 8) + r = 0 Substituindo x por 1 na equação acima, temos: p + 13ln(13 + 4 + 8) + r = 0 p + 13ln(25) + r = 0 Agora, precisamos encontrar o valor de p. Para isso, vamos utilizar a informação de que a reta px + y + r = 0 é tangente à função f(x) no ponto de abscissa igual a 1. Isso significa que a reta deve passar pelo ponto (1, f(1)). Substituindo x por 1 e y por 13ln(13) na equação da reta, temos: p + 13ln(25) + r = 0 p + 13ln(25) + r = -13ln(13) Subtraindo a segunda equação da primeira, temos: p + r = -13ln(13) - 13ln(25) p + r = -13ln(325) Agora, precisamos de mais uma equação para encontrar os valores de p e r. Podemos utilizar a informação de que a reta px + y + r = 0 é tangente à função f(x) no ponto de abscissa igual a 1. Isso significa que a reta deve ter a mesma inclinação da reta tangente à função nesse ponto, ou seja, 6. A inclinação da reta px + y + r = 0 é dada por -p, portanto, temos: -p = 6 Logo, p = -6. Agora, podemos encontrar o valor de r: p + r = -13ln(325) -6 + r = -13ln(325) r = -13ln(325) + 6 Portanto, a equação da reta é px + y + r = 0, ou seja, -6x + y - 13ln(325) + 6 = 0, e o valor de p é -6.