04) (UFU) Considere, no plano cartesiano com origem O, um triângulo cujos vértices A, B e C têm coordenadas (-1,0), (0,4) e (2,0), respectivamente....

Vamos resolver isso. Primeiro, vamos encontrar as coordenadas de M e N, que são os pontos médios de AB e BC, respectivamente. Coordenadas de M (ponto médio de AB): \(M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)\) \(M = \left(\frac{-1 + 0}{2}, \frac{0 + 4}{2}\right)\) \(M = \left(-\frac{1}{2}, 2\right)\) Coordenadas de N (ponto médio de BC): \(N = \left(\frac{x_2 + x_3}{2}, \frac{y_2 + y_3}{2}\right)\) \(N = \left(\frac{0 + 2}{2}, \frac{4 + 0}{2}\right)\) \(N = \left(1, 2\right)\) Agora, vamos encontrar a área do triângulo OMN usando as coordenadas de O, M e N. A área de um triângulo pode ser encontrada usando a fórmula: \(A = \frac{1}{2} \times |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|\) Substituindo as coordenadas de O, M e N na fórmula, obtemos: \(A = \frac{1}{2} \times |-1(2 - 2) + (-\frac{1}{2})(2 - 0) + 1(0 - 2)|\) \(A = \frac{1}{2} \times |-1 + (-1) + (-2)|\) \(A = \frac{1}{2} \times |-4|\) \(A = 2 u a\) Portanto, a área do triângulo OMN é igual a 2 u a, correspondendo à alternativa d).