Problemas de Geometria UFU

Prévia do material em texto

Manual da Aprovação – Matemática UFU (Professor Jazz) 
 
 
1 
 
Estudo do Ponto | GA 
(UFU) 
 
01) (UFU) O “bocha” é um esporte trazido ao Brasil 
pelos imigrantes italianos. Ele consiste no 
lançamento de “bochas” (bolas), a partir de uma 
região delimitada, para situá-las o mais próximo 
possível de um “bolim” (bola pequena) previamente 
lançado. A “cancha”, local onde o jogo é praticado, 
é uma espécie de raia e pode ser interpretada como 
uma porção de um plano, o qual assumiremos estar 
munido de um sistema de coordenadas cartesianas 
xOy. 
Sabe-se que: 
1. O bolim está localizado no ponto A = ( 2, –4 ). 
2. Uma bocha já arremessada está localizada no 
ponto B = ( –1, 1 ). 
Um jogador deseja arremessar uma nova bocha 
que deverá colidir com a bocha em B, empurrando-
a para próximo do bolim em A. Para facilitar o seu 
arremesso, ele busca posicionar-se na cancha em 
um ponto C, de maneira que A, B e C estejam 
alinhados. Se C = ( h, 2 ), então, de acordo com as 
condições dadas, pode-se afirmar que: 
a) –2,1  h < –1,9 
b) –1,9  h < –1,7 
c) –1,7  h < –1,5 
d) –1,5  h  –1,3 
 
02) (UFU) Seja r a reta determinada pelos pontos 
(5,4) e (3,2). Os pontos de r que são equidistantes 
do ponto (3,1) e do eixo das abscissas são: 
a) (6,4) e (2,5) 
b) (6,5) e (2,1) 
c) (4,3) e (5,4) 
d) (6,5) e (2,3) 
 
03) (UFU) Considere a figura abaixo, em que as 
retas r e s são tangentes à circunferência de raio 2 
cm. 
C
s
y
t
B
r
x
60º
-2
A
2
 
A área do triângulo ABC é igual a 
a) 6 cm2 
b) 26 3cm 
c) 24 3cm 
d) 23 3cm 
 
04) (UFU) Considere, no plano cartesiano com 
origem O, um triângulo cujos vértices A, B e C têm 
coordenadas (-1,0), (0,4) e (2,0), respectivamente. 
Se M e N são pontos médios de AB e BC , 
respectivamente, a área do triângulo OMN será 
igual a 
a) 5 .
3
u a 
b) 8 .
5
u a 
c) 1 .u a 
d) 3 .
2
u a 
 
 
Manual da Aprovação – Matemática UFU (Professor Jazz) 
 
 
2 
 
05) (UFU) Um polígono tem vértices consecutivos 
A(0,0), B(5,0), C(5,1), D(3,4), E(3,2) e F(1,1). A sua 
área é: 
a) 9 u.a. 
b) 6 u.a. 
c) 8,5 u.a. 
d) 7,5 u.a. 
 
06) (UFU) Suponha que os pontos A(0,0), 
 3, 3 3B e  9, 3 3C representam três torres 
de observação ao longo de um anel viário circular, 
representado pelo círculo  centrado no ponto 
P(6,0). 
Uma nova torre será construída nesse anel, 
localizada num ponto D de modo que CD é um 
diâmetro do círculo  . 
Essas torres determinam um quadrilátero ABCD 
inscrito no circulo  e, de cada torre, é possível 
enxergar as outras três torres segundo um ângulo 
de visão (ângulo interno do quadrilátero). 
Elabore e execute um plano de resolução de 
maneira a determinar: 
a) As coordenadas cartesianas do ponto que 
representa a torre D. 
b) Os valores, em graus, dos ângulos de visão 
ˆDAB , ˆABC , ˆBCD e ˆCDA . 
 
07) (UFU) Os vértices de um polígono 1 2 3 4 5 6PP P P P P 
têm coordenadas 1 1 1( , )P x y , 2 2 2( , )P x y , 
3 3 3( , )P x y , 4 4 4( , )P x y , 5 5 5( , )P x y e 
6 6 6( , )P x y . As abscissas e ordenadas destas 
coordenadas satisfazem as seguintes condições: 
I. 1 2 1 2, , y , yx x formam, nessa ordem, uma 
progressão aritmética de razão 2 e cuja soma dos 
termos é igual a 4; 
II. 4 5 4 5, , y , yx x formam, nessa ordem, uma 
progressão geométrica em que o primeiro termo é 
igual a 8 e o último é igual a 1; 
III. Os vértices P3 e P6, em que y3 > 0, são as 
representações geométricas no plano cartesiano 
das raízes complexas do polinômio 
2( ) - 4x 20p x x  
Considerando as informações dadas, faça o que se 
pede. 
a) Determine os vértices desse polígono. 
b) Represente geometricamente esse polígono no 
plano cartesiano e calcule a área da região limitada 
por este polígono. 
 
08) (UFU) Sejam  8, 8A    e  8, 8B  
vértices opostos de um losango de área 24. 
Determine as coordenadas dos outros dois vértices. 
 
GABARITO 
 
01) C 
02) B 
03) B 
04) D 
05) C 
06) a) Como  9,3 3C e D(xD, yD) são pontos do 
círculo  de centro P(0, 6), tais que CD é um 
diâmetro do círculo, então P é ponto médio do 
segmento CD. Logo, 
Manual da Aprovação – Matemática UFU (Professor Jazz) 
 
 
3 
 
9
6
2
Dx 
 , ou seja, xD = 3, 
3 3
0
2
Dy 
 , ou seja, 33yD  . 
Portanto, as coordenadas cartesianas do ponto que 
representa a torre D são 3Dx  e 3 3Dy   . 
 
b) Observando que a medida do raio do círculo  é 
6, temos que os segmentos PA, PB, PC e PD tem 
todos comprimentos iguais a 6. Além disso, 
considerando 
dAB = distância do ponto A ao ponto B, 
dBC = distância do ponto B ao ponto C e 
dAD = distância do ponto A ao ponto D, 
temos 
2 2(3 0) (3 3 0) 6ABd      , 
2 2(9 3) (3 3 3 3) 6BCd      e, 
2 2(0 3) (0 3 3) 6ADd      . 
Assim, os triângulos APD, ABP e BCP são 
equiláteros de lado 6 e, portanto, possuem todos os 
ângulos internos iguais a 60º. Logo, os ângulos 
procurados são 
ˆ ˆ ˆ 60º 60º 120ºDAB DAP PAB     , 
ˆ ˆ ˆ 60º 60º 120ºABC ABP PBC     , 
ˆ 60ºBCD  , 
ˆ 60ºCDA  . 
Gab: 
a) P1 = (-2,2), P2 = (0,4) 
P4 = (8,2), P6 = (4,1) 
P3 = (2,4), P6 = (2,–4) 
b)
 
33 u.a 
Gab: 3 2 3 2,
2 2
P
  
 
 e 3 2 3 2,
2 2
Q
  
 