Na matemática, o conceito de limite é fundamental para o estudo do comportamento de funções em determinados pontos e em intervalos. Se \(lim_(x \r...

Podemos utilizar as propriedades dos limites para resolver essa questão. Primeiro, vamos calcular o valor do denominador da fração: \[\lim_{x \rightarrow a} [f(x) + g(x)]^2\] Usando a propriedade de que o limite da soma é a soma dos limites, temos: \[\lim_{x \rightarrow a} [f(x) + g(x)]^2 = \lim_{x \rightarrow a} [f(x)]^2 + 2f(x)g(x) + [g(x)]^2\] Agora, podemos substituir os valores dos limites dados no enunciado: \[\lim_{x \rightarrow a} [f(x) + g(x)]^2 = \lim_{x \rightarrow a} [f(x)]^2 + 2f(x)g(x) + [g(x)]^2 = 4^2 + 2(4)(-2) + (-2)^2 = 12\] Agora, podemos calcular o limite original: \[\lim_{x \rightarrow a} \frac{1}{[f(x) + g(x)]^2} = \frac{1}{\lim_{x \rightarrow a} [f(x) + g(x)]^2} = \frac{1}{12}\] Portanto, o valor do limite é \(\frac{1}{12}\).