V.9 Produto Semidireto de Grupos Já classificamos todos os grupos de ordem ≤ 11, usando as técnicas elementares desenvolvidas até agora e usando o resultado de unici- dade dado pela parte b) do Teorema V.7.3. Se tentarmos encontrar todos os grupos de ordem 12 seguindo as idéias utilizadas para en- contrar os de ordem ≤ 11, defrontamo-nos com duas dificuldades: 1) Provar a existência de elementos e subgrupos de certa ordem, por exemplo de ordem 3 ou 4, em todo grupo de ordem 12. 2) Provar a existência (ou a não existência) de grupos de ordem 12 gerados por dois elementos satisfazendo certas relações. Para enfrentar essa segunda dificuldade, seria conveniente ter à nossa disposição o resultado de existência dado pela parte a), item 2), do Teorema V.7.3. Estamos portanto interessados em provar este resultado, pelo menos no caso de u = 0. Para este fim, vamos desenvolver uma técnica de construção de grupos a partir de dois grupos dados, construção esta que generaliza o produto direto. Se K e H são dois grupos (não necessariamente finitos), se σ : K → Aut(H) é um homomorfismo do grupo K no grupo dos automorfismos de H, então · σ denotará a operação definida sobre o conjunto K ×H da maneira seguinte: (k, h) · σ (k′, h′) := (k · k′, h · σ(k)(h′)). Teorema V.9.1. Sejam K,H dois grupos e σ : K → Aut(H) um homomorfismo. Então, (K ×H, · σ ) é um grupo. Demonstração. A operação · σ é associativa. De fato, temos: • [(k1, h1) · σ (k2, h2)] · σ (k3, h3) = [k1k2, h1 · σ(k1)(h2)] · σ (k3, h3) = (k1k2k3, h1 · σ(k1)(h2) · σ(k1k2)(h3)) • (k1, h1) · σ [(k2, h2) · σ (k3, h3)] = (k1, h1) · σ [k2k3, h2 · σ(k2)(h3)] = (k1k2k3, h1 · σ(k1)(h2 · σ(k2)(h3))) = (k1k2k3, h1 · σ(k1)(h2) · σ(k1)(σ(k2)(h3))) = (k1k2k3, h1 · σ(k1)(h2) · σ(k1k2)(h3)). Existe um elemento neutro, a saber (eK , eH). Também, todo elemento (k, h) possui um inverso, a saber (k−1, σ(k−1)(h−1)) (verifique). Definição V.9.2. O grupo (K×H, · σ ) é chamado de produto semidi- reto de H por K com homomorfismo σ. Ele será denotado por (K ×H, · σ ) ou por K × σ H. Propriedades elementares: Sejam K,H dois grupos e σ : K → Aut(H) um homomorfismo. 1) O produto semidireto K× σ H é igual ao produto direto K×H se e somente se σ é o homomorfismo trivial (i.e., se e somente se σ(k) = Identidade de H, ∀ k ∈ K). (Verifique!). 2) (k, h) · σ . . . · σ (k, h) ︸ ︷︷ ︸ n vezes = ( kn, ∏n−1 i=0 σ(ki)(h) ) (Verifique fazendo uma indução sobre n). Em particular, (k, e) · σ . . . · σ (k, e) ︸ ︷︷ ︸ n vezes = ( kn, e ) e (e, h) · σ . . . · σ (e, h) ︸ ︷︷ ︸ n vezes = (e, hn). 3) (e, h) · σ (k, e) = (k, h), ∀ k ∈ K, ∀ h ∈ H. (k, e) · σ (e, h) = (k, σ(k)(h)) que é diferente de (k, h), para algum k ∈ K e h ∈ H, se σ não é o homomorfismo trivial. 4) e×H é um subgrupo normal de K × σ H. De fato: (k, h)· σ (e, h′) · σ (k, h)−1 = (k, h) · σ (e, h′) · σ (k−1, σ(k−1)(h−1)) = (k, h · σ(k)(h′)) · σ (k−1, σ(k−1)(h−1)) = (e, h · σ(k)(h′) · h−1) ∈ e×H. 5) K × e é um subgrupo de K × σ H; ele é normal em K × σ H se e somente se σ é o homomorfismo trivial. De fato, é claro que K× e é um subgrupo de K× σ H e que ele é normal em K × σ H se σ é o homomorfismo trivial. Agora, se σ não é o homomorfismo trivial, tome ℓ ∈ K e h ∈ H com σ(ℓ)(h) 6= h, tome k ∈ K qualquer e k′ := k−1ℓk. Temos: (k, h)· σ (k′, e) · σ (k, h)−1 = (k, h) · σ (k′, e) · σ (k−1, σ(k−1)(h−1)) = (kk′, h) · σ (k−1, σ(k−1)(h−1)) = (kk′k−1, h · σ(kk′)(σ(k−1)(h−1)) = (kk′k−1, h · σ(kk′k−1)(h−1)) = (kk′k−1, h · σ(ℓ)(h−1)) /∈ K × {e}, e portanto K × e não é normal em K × σ H. Exemplo V.9.3. Sejam K = 〈β〉 um grupo ćıclico de ordem 2 e H = 〈α〉 um grupo ćıclico de ordem 3. Temos Aut