Afirmação 1 : O grupo G possui um elemento de ordem 3. (Verifique) Afirmação 2 : O grupo G possui um elemento de ordem 5. De fato, suponhamos que G não possua elementos de ordem 5. Então, pelo Teorema de Lagrange, todos os elementos 6= e teriam ordem igual a 3. Tome x ∈ G \ {e} e y ∈ G \ 〈x〉. a) e, x, x2, y, y2 são elementos distintos, por razões elementares. b) e, x, x2, y, y2, xy, y2x2 são sete elementos distintos. De fato, temos que xy /∈ {e, x, x2, y, y2} por razões elementares, e por ser o inverso de xy, o elemento y2x2 também não pertence a este conjunto. c) e, x, x2, y, y2, xy, y2x2, xy2, yx2 são nove elementos distintos. De fato, xy2 /∈ {e, x, x2, y, y2, xy} por razões elementares; também, xy2 6= y2x2 pois caso contrário, teŕıamos xy2 = y2x2, logo multiplicando ambos os lados por xy2 à direita, obteŕıamos (xy2)2 = y e tomando os inversos de ambos os lados, xy2 = y2, o que seria absurdo. Logo xy2 /∈ {e, x, x2, y, y2, xy, y2x2} e, por ser o inverso de xy2, o elemento yx2 também não pertence a este conjunto. d) e, x, x2, y, y2, xy, y2x2, xy2, yx2, x2y, y2x são onze elementos distintos. De fato, x2y /∈ {e, x, x2, y, y2, xy, xy2} por razões elementa- res; também x2y 6= y2x2 pois, caso contrário, teŕıamos x2y = y2x2, logo multiplicando ambos os lados por y2x2 à direita, obteŕıamos x = (y2x2)2 e, tomando os inversos de ambos os lados, x2 = y2x2, o que seria absurdo; similarmente, x2y 6= yx2 pois, caso contrário, os elementos x2 e y comutariam, logo 〈x2, y〉 = {e, x2, x, y, x2y, xy, y2, x2y2, xy2} seria um subgrupo de G contendo 9 elementos, o que seria absurdo pelo Teorema de Lagrange. Logo x2y /∈ {e, x, x2, y, y2, xy, y2x2, xy2, yx2}, e por ser o inverso de x2y, o elemento y2x também não pertence a este conjunto. e) e, x, x2, y, y2, xy, y2x2, xy2, yx2, x2y, y2x, x2y2, yx são 13 elemen- tos distintos. De fato, x2y2 /∈ {e, x, x2, y, y2, xy, xy2, x2y} por razões elementares; também x2y2 6= y2x2 pois, caso contrário, x2 e y2 co- mutariam, logo 〈x2, y2〉 seria um subgrupo de G contendo 9 elemen- tos, o que seria absurdo pelo Teorema de Lagrange; similarmente, trocando os papéis de x e y no argumento dado em c), obtemos x2y2 6= yx2; finalmente, trocando os papéis de x e y no argumento dado em d), obtemos x2y2 6= y2x. Logo x2y2 /∈ {e, x, x2, y, y2, xy, y2x, xy2, yx2, x2y, y2x}, e por ser o inverso de x2y2, o elemento yx também não pertence a este conjunto. f) Adicionando xyx e x2y2x2 ao conjunto anterior, temos 15 ele- mentos distintos. De fato, se tivéssemos xyx = xiyj, então multi- plicando ambos os lados por x2 à esquerda, obteŕıamos yx = xi+2yj que sabemos ser absurdo pelo item e); similarmente, se tivessemos xyx = yjxi, então multiplicando ambos os lados por x2 à direita, obteŕıamos xy = yjxi+2 que sabemos ser absurdo pelo item e). Logo xyx não pertence ao conjunto de 13 elementos dado no item e), e por ser o inverso de xyx, o elemento x2y2x2 também não pertence a este conjunto de 13 elementos. g) O elemento xy2x não pertence ao conjunto de 15 elementos dado no item f). De fato, substituindo y por y2 no argumento dado no item f), obtemos que xy2x não pertence ao conjunto de 13 elementos dado no item e); também, xy2x 6= xyx pois, caso contrário, teŕıamos xy2x = xyx, logo multiplicando ambos os lados por x2 à direita e à esquerda, obteŕıamos y2 = y, o que seria absurdo; similarmente, xy2x 6= x2y2x2 pois caso contrário, teŕıamos xy2x = x2y2x2, logo multiplicando ambos os lados por y2 à direita, obteŕıamos (xy2)2 = (x2y2)2 e, tomando os invers