Exercício 3. Seja G um grupo de ordem 112 · 132. Mostre que G é um grupo abeliano.
Demonstração.
• Iremos a usar o seguinte teorema (página 178):
Teorema (Produto direto de grupos). Sejam G,G1, . . . , Gn grupos. Então o grupo G é isomorfo ao grupo G1× . . .×Gn se e somente se G possui subgrupos H1 ' G1, . . . , Hn ' Gn tais que:
(i) G = H1 . . . Hn.
(ii) Hi / G, ∀i = 1, . . . , n.
(iii) Hi ∩ (H1 . . . Hi−1Hi+1 . . . Hn) = {e}, ∀i = 1, . . . , n.
• Pelo 3º teorema de Sylow temos n11 = 1 e n13 = 1.
• Sejam N11 e N13 os subgrupos de G de ordem 112 e 132 respectivamente, então N11 e N13 são normais (pois pelo item anterior eles são únicos).
• Os subgrupos N11, N13 tem ordem p2 (p = 11, 13) logo são abelianos.
• Como N11N13 é um subgrupo de G (pois N11, N13 são normais), e N11 ∩ N13 = {e} (pois se a ∈ N11 ∩ N13 então |a| divide 11 e 13 logo |a| = 1 assim a = e) então |N11N13| = |G| logo N11N13 = G.
• Claramente N11, N13 são isomorfos a eles mesmos (pelo homomorfismo identi-dade).
• Agora usando o teorema enunciado temos G ' N11 ×N13.
• Seja o isomorfismo
ϕ : N11 ×N13 → G
(g, h) 7−→ ϕ(g, h)
assim dado a, b ∈ G temos que existem (g1, h1), (g2, h2) ∈ N11 × N13 tais que ϕ(g1, h1) = a, ϕ(g2, h2) = b logo
ab = ϕ(g1, h1) · ϕ(g2, h2)
= ϕ((g1, h1) · (g2, h2))
= ϕ(g1 · g2, h1 · h2)
= ϕ(g2 · g1, h2 · h1)
= ϕ((g2, h2) · (g1, h1))
= ϕ(g2, h2) · ϕ(g1, h2)
= ba
logo G é abeliano.