Para que um sistema de equações lineares admita infinitas soluções não triviais, é necessário que as equações sejam linearmente dependentes. Isso significa que pelo menos uma das equações pode ser expressa como uma combinação linear das outras. Vamos analisar as equações do sistema: 1) \(2x + 3y - z = 0\) 2) \(4x + 6y - \lambda z = 0\) 3) \(\lambda x - y + z = 0\) Para que as equações 1 e 2 sejam linearmente dependentes, a segunda deve ser um múltiplo da primeira. Assim, podemos comparar os coeficientes: Se multiplicarmos a primeira equação por 2, obtemos: \[4x + 6y - 2z = 0\] Para que a segunda equação seja dependente da primeira, precisamos que: \(-\lambda z = -2z\) Isso implica que \(\lambda = 2\). Agora, precisamos verificar a terceira equação. Para que o sistema tenha infinitas soluções, a terceira equação também deve ser uma combinação das duas primeiras. Substituindo \(\lambda = 2\) na terceira equação: \[2x - y + z = 0\] Agora, vamos verificar se essa equação pode ser expressa como uma combinação das duas primeiras. Se considerarmos a primeira equação e a segunda (com \(\lambda = 2\)), podemos ver que a terceira equação não é uma combinação linear direta das duas primeiras, mas precisamos garantir que não haja contradições. Assim, a condição para que o sistema tenha infinitas soluções não triviais é que \(\lambda\) deve ser igual a 2 ou que as equações sejam linearmente dependentes de outra forma. Portanto, a alternativa correta é: a) \(\lambda = -\frac{2}{3}\) ou \(\lambda = 2\).