39) Sejam A open parentheses plus comma times close parentheses e B open parentheses plus comma times close parentheses anéis e a aplicação f colon...

{"choice": "b", "explanation": "Vamos analisar as asserções:I. Se o núcleo de f é um ideal maximal, então f é um isomorfismo - Esta afirmação é verdadeira de acordo com as propriedades dos homomorfismos de anéis. Quando o núcleo de f é um ideal maximal, isso implica que f é um isomorfismo, o que é uma propriedade importante dos homomorfismos de anéis.II. O homomorfismo f leva o elemento nulo de A ao elemento nulo de B - Essa afirmação também é verdadeira, pois os homomorfismos de anéis preservam a estrutura algébrica, o que inclui o elemento neutro da adição.Portanto, as duas asserções são verdadeiras e a segunda asserção (II) justifica a primeira asserção (I). Assim, a alternativa correta é a letra b) As asserções I e II são proposições verdadeiras e a II justifica a I."

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I. Se o núcleo de f é ideal maximal então f é um isomorfismo

Esta asserção é verdadeira, mas com uma ressalva. O núcleo de um homomorfismo de anéis ser um ideal maximal é uma condição necessária, mas não suficiente, para que o homomorfismo seja um isomorfismo. Para que f seja um isomorfismo, é necessário também que f seja bijetora, ou seja, que f seja injetora e sobrejetora.

II. O homomorfismo f leva elemento nulo de A em elemento nulo de B

Esta asserção é verdadeira. De fato, um dos axiomas de um homomorfismo de anéis é que ele preserve a estrutura aditiva, o que significa que o elemento nulo de A é mapeado para o elemento nulo de B.

No entanto, a asserção II não justifica a asserção I. Embora seja verdade que um homomorfismo de anéis mapeie o elemento nulo de A para o elemento nulo de B, isso não é suficiente para garantir que o homomorfismo seja um isomorfismo, mesmo que o núcleo de f seja um ideal maximal. Como mencionado anteriormente, para que f seja um isomorfismo, é necessário também que f seja bijetora. Portanto, a asserção II é verdadeira, mas não justifica a asserção I.