ética K por K(ω⃗) = 1/2 mB(ω⃗, ω⃗) , Sec. 2.2 Corpo ŕıgido 23 onde ω⃗ é a velocidade angular do corpo e mB o produto interno sobre B definido por mB(X,Y ) = gB [X, IB(Y )] , para quaisquer X,Y ∈ B (é fácil ver que mB é um produto interno pois IB é g-simétrico e definido positivo). Podemos utilizar novamente a aplicação velocidade angular ΩB :TQ→ B para induzir em Q outra métrica riemanniana m pelo “pull-back” de mB por ΩB ; isto é, para quaisquer X,Y ∈ TqQ, q ∈ Q, m(X,Y ) = mB [ΩB(X),ΩB(Y )] . Essa métrica m é tal que a função K:TQ→ IR definida por K(v) = 1/2 m(v, v) coincide com a energia cinética do corpo ŕıgido; com ela podemos construir o tensor I:TQ → TQ como na definição 2.1.3, que será chamado tensor de inércia do corpo ŕıgido. Definimos a aplicação momento angular L:TQ→ S por L = ΩS ◦ I. A equação de movimento citada no ińıcio dessa secção se escreve então d/dt (L ◦ v) = N ◦ v , onde v: (−ε, ε) → TQ é a velocidade associada a uma curva c: (−ε, ε) → Q e N :TQ→ S uma aplicação que fornece o torque total N(X) ∈ S aplicado sobre o corpo quando este se encontra em um estado X ∈ TQ (torque esse calculado em relação a 0 ∈ S). Completamos o sistema holônomo (Q,m, g, F ) associado ao corpo ŕıgi- do definindo a força F :TQ → TQ por ΩS ◦ F = N . Com esta definição a equação de movimento acima será equivalente a I ◦ ∇m v v = F ◦ v se e somente se ΩS ◦ I ◦ ∇m v v = d/dt (L ◦ v) , (veja o comentário 2.1.6). Essa é exatamente a igualdade que pretendemos demonstrar (teorema 2.2.8), mas vamos antes introduzir alguma notação (em coordenadas) e provar resultados preliminares. 2.2.1 Notação (em coordenadas). Fixemos inicialmente uma base ve- torial (eα) (α = 1, 2, 3) em S e outra (ua) (a = 1, 2, 3) em B (vamos utilizar α, β, γ, . . . para indexar objetos e coordenadas relativos a S e a, b, c, . . . para os ı́ndices relativos a B ). Feito isto, definimos gαβ = gS(eα, eβ), gab = gB(ua, ub), mab = mB(ua, ub), Iab por IB(ub) = Iab ua , mab por mabmbc = δac e gcb por gcbgba = δca . É claro que mab = Icagcb . Definindo ∧αβγ e ∧abc respectivamente por eβ ∧S eγ = ∧αβγeα e ub ∧B uc = ∧abcua, e também Vαβγ e Vabc respectivamente por Vαβγ = gS(eα, eβ ∧S eγ) e Vabc = gB(ua, ub ∧B uc) obtemos ∧αβγ = −∧αγβ , ∧abc = −∧acb, Vαβγ = gαδ∧δβγ , Vabc = gad∧dbc, Vαβγ = Vβγα = Vγαβ e Vabc = Vbca = Vcab. Se fixarmos também um sistema de coordenadas locais (qi) sobre Q (i = 1, 2, 3; durante essa secção usaremos i, j, k, l . . . para indexar objetos e coordenadas relativos à variedade Q), definimos para cada (q1, q2, q3) ∼= q ∈ Q uma matriz Qαa (q 1, q2, q3) = Qαa (q) por q(ua) = Qαaeα, lembrando que q ∈ Q é uma aplicação de B em S. 2.2.2 Exemplo (coordenadas eulerianas). Se fixarmos (eα) como sen- do uma base ortonormal positivamente orientada de S e (ua) uma base de autovetores de IB também ortonormal e positivamente orientada (que sempre existe pois IB é simétrico e positivo definido) então gαβ = gαβ = δαβ , gab = gab = δab , e Iab = mab =  I1 0 0 0 I2 0 0 0 I3  , onde I1, I2 e I3 são os momentos de inércia do corpo ŕıgido; teremos também ∧αβγ = Vαβγ = εαβγ e ∧abc = Vabc = εabc. Nesse caso o sistema de coordenadas locais sobre Q mais usual é for- mado pelos ângulos de Euler (θ, ϕ, ψ), no qual as matrizes Qαa (θ, ϕ, ψ) se escrevem Qαa =  a=1 a=2 a=3 cosϕ cosψ−cos θ senϕ senψ − cos θ senϕ cosψ−cosϕ senψ sen θ senϕ senψ cos θ senϕ senψ sen θ cosψ cos θ 