Questão 4 – Corpo ŕıgido

Considere duas part́ıculas de massas m1 e m2 conectadas por uma haste ŕıgida de massa despreźıvel. O conjunto está em...

Question

Questão 4 – Corpo ŕıgidoConsidere duas part́ıculas de massas m1 e m2 conectadas por uma haste ŕıgida de massa despreźıvel. O conjunto está em rotação como mostrado na figura, sendo ~vi a velocidade e ~ri a posição da part́ıcula i (i = 1, 2). O sistema de eixos de re-ferência é definido pelos ver-sores de base ê1, ê2 e ê3 mos-trados na figura. O versor ê3 se encontra ao longo da linha que une as part́ıculas e ê2 está no plano definido por ê3 e ~ω. Considere a distância entre as part́ıculas e a origem das co-ordenadas igual a b.(a) [50%] Encontre o momento angular ~L do sistema.(b) [30%] Explique porque a velocidade angular ~ω e o momento angular não apontam na mesma direção.(c) [20%] Determine o torque necessário para manter o movimento conforme descrito.(a) Encontre o momento angular ~L do sistema.(b) Explique porque a velocidade angular ~ω e o momento angular não apontam na mesma direção.(c) Determine o torque necessário para manter o movimento conforme descrito.Encontre o momento angular ~L do sistema.Explique porque a velocidade angular ~ω e o momento angular não apontam na mesma direção.Determine o torque necessário para manter o movimento conforme descrito.

Ed · Answer

(a) O momento angular ~L do sistema é dado por ~L = ~L1 + ~L2, onde ~L1 e ~L2 são os momentos angulares das partículas 1 e 2, respectivamente. Cada momento angular é dado pelo produto vetorial da posição da partícula em relação à origem e seu momento linear, ou seja, ~L1 = ~r1 x ~p1 e ~L2 = ~r2 x ~p2. Substituindo as expressões para ~r e ~p, temos:

~L1 = ~r1 x m1~v1
~L2 = ~r2 x m2~v2

Onde ~v1 e ~v2 são as velocidades das partículas e ~r1 e ~r2 são os vetores posição das partículas em relação à origem. Substituindo as expressões para ~r1 e ~r2 em termos de b e do ângulo θ, temos:

~r1 = b(cosθ, senθ, 0)
~r2 = -b(cosθ, senθ, 0)

Substituindo as expressões para ~v1 e ~v2 em termos de ω e b, temos:

~v1 = ωb(-senθ, cosθ, 0)
~v2 = -ωb(-senθ, cosθ, 0)

Substituindo tudo na expressão para ~L, temos:

~L = ~L1 + ~L2 = (m1b^2 + m2b^2)ωê3

(b) A velocidade angular ~ω e o momento angular ~L não apontam na mesma direção porque a haste rígida não está na direção do eixo de rotação. O momento angular é perpendicular ao plano definido pelas posições das partículas e o eixo de rotação, enquanto a velocidade angular é paralela ao eixo de rotação.

(c) O torque necessário para manter o movimento conforme descrito é dado por τ = d~L/dt, onde ~L é o momento angular do sistema. Como ~L é constante no tempo, o torque necessário é zero.

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Exame de Mecânica Clássica na UFPE

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