Qual é o valor de \( \int_0^{\pi/4} \tan(x) \, dx \)? a) \( \ln(\sqrt{2}) \) b) \( \ln(2) \) c) \( \frac{1}{2}\ln(2) \) d) \( \ln(2) - \frac{\pi}{...

Vamos resolver a integral dada: \[ \int_0^{\pi/4} \tan(x) \, dx \] A integral de \( \tan(x) \) é \( -\ln|\cos(x)| \). Então, ao avaliar a integral de 0 a \( \pi/4 \), obtemos: \[ -\ln|\cos(\pi/4)| - (-\ln|\cos(0)|) \] \[ = -\ln\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) - (-\ln(1)) \] \[ = -\ln(\sqrt{2}) - 0 \] \[ = -\ln(\sqrt{2}) \] Portanto, a alternativa correta é: a) \( \ln(\sqrt{2}) \)