4a Questão: [2, 0 pontos] Um número escrito com cem algarismos iguais a 0, cem algarismos iguais a 1 e cem algarismos iguais a 2 pode ser um quad...

4a Questão: [2, 0 pontos] Um número escrito com cem algarismos iguais a 0, cem algarismos iguais a 1 e cem algarismos iguais a 2 pode ser um quadrado perfeito? (Dica: Use critérios de divisibilidade simples) Solução: Seja N o número em questão. Observe que se um primo p aparece na decomposição de um número natural n, então o número p2 divide n2. Logo se um primo p divide um quadrado perfeito n, então p2 também divide n. Como a soma dos algarismos de N é 100(0 + 1 + 2) = 300, conclúımos que 3 divide N . Pelo observado acima, se N é um quadrado perfeito, então 9 também divide N . Lembre-se que um número natural é diviśıvel por 9 se, e somente se, a soma de seus algarismos é diviśıvel por 9. Contudo 9 não divide 300, portanto, N não é um quadrado perfeito.