Sabe-se que o ângulo entre os vetores vec u(p, p - 4, 0) e vec v (2,0,-2) vale 45°. Determine o valor de p real.

Para determinar o valor de p, podemos usar a fórmula do produto escalar entre dois vetores. O produto escalar entre os vetores u e v é dado por u.v = |u|.|v|.cos(theta), onde theta é o ângulo entre os vetores. Dado que o ângulo entre os vetores u e v é 45°, temos que cos(45°) = sqrt(2)/2. Os vetores u e v são dados por u = (p, p - 4, 0) e v = (2, 0, -2). Calculando o produto escalar, temos: (p*2) + (p-4)*0 + 0*(-2) = |u|.|v|.|cos(45°)| 2p = sqrt((p^2 + (p-4)^2 + 0^2).(2^2 + 0^2 + (-2)^2)).(sqrt(2)/2) 2p = sqrt(p^2 + (p-4)^2).(2.sqrt(2))/2 4p = sqrt(p^2 + (p-4)^2).2.sqrt(2) 4p = 2.sqrt(2).sqrt(p^2 + (p-4)^2) 4p = 2.sqrt(2).sqrt(p^2 + p^2 - 8p + 16) 4p = 2.sqrt(2).sqrt(2p^2 - 8p + 16) 2p = sqrt(2p^2 - 8p + 16) 4p^2 = 2p^2 - 8p + 16 2p^2 + 8p - 16 = 0 p^2 + 4p - 8 = 0 Resolvendo a equação quadrática, obtemos p = -2 + sqrt(12) ou p = -2 - sqrt(12). Portanto, os valores reais de p são p = -2 + 2.sqrt(3) ou p = -2 - 2.sqrt(3).