Questão 2 Correto Atingiu 0,20 de 0,20 Duas placas planas horizontais com comprimento L e distância h uma da outra são separadas por um fluido newt...

Questão 2
Correto
Atingiu 0,20 de 0,20
Duas placas planas horizontais com comprimento L e distância h uma da outra são separadas por um fluido newtoniano e incompressível de viscosidade μ e massa específica ρ, conforme a figura abaixo. Ambas as placas estão fixas, enquanto é aplicada pressão p1 na abertura esquerda e p2 na direita.
O escoamento é laminar e ocorre apenas na direção x. Não há variação da velocidade fora do plano da figura. As pressões aplicadas provocam um gradiente constante, portanto ∂p /∂x = K = (p2 − p1) /L.
Considerando regime permanente, obtenha uma expressão para a distribuição da velocidade.
Escolha uma opção:
a. u(y)=\frac{K}{\mu} y^2
b. u(y)=\frac{K}{\mu} \left( y^2 + hy \right)
c. u(y)=\frac{K}{\mu} \left( y^2 - hy \right) 
d. u(y)=\frac{V}{h}y
e. u(y) = -\frac{\rho g sen\theta}{2\mu}y^2 + \frac{\rho g sen\theta}{\mu}hy
Sua resposta está correta.
Como se deseja obter a velocidade em cada ponto do domínio, verifica-se que é um problema típico de Equação Diferencial.
Se o escoamento entre as duas placas planas é laminar, então haverá velocidade apenas na direção x. Pelo princípio da continuidade para escoamento incompressível:
\[\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}=0 \ ,\]
como v=w=0,
\[\to \frac{\partial u}{\partial x}=0 \ \text{(i)}\]
Portanto, a variação da velocidade u só poderá ocorrer na direção y, o que classifica o escoamento como unidimensional.
A equação de Navier-Stokes permite calcular o campo de velocidades em um escoamento. Neste caso, apenas a componente em x (coordenadas cartesianas) interessa:
\[ \rho g_x-\frac{\partial p}{\partial x}+\mu\left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}\right)=\rho\left(\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}+w\frac{\partial u}{\partial z}\right) \ ]
Comentando cada um dos termos:
\[g_x=0\], pois a gravidade estará integralmente no eixo y;
\[\partial p/\partial x=K\], conforme o enunciado;
\[\partial u/\partial x=\partial^2 u/\partial x^2=0\], conforme (i);
\[\partial u/\partial z=\partial^2 u/\partial z^2=0\], pois não há variação da velocidade fora do plano da figura;
\[\partial u/\partial t=0\], pois o escoamento é permanente;
\[v=w=0\], pois só há componente de velocidade em x.
Portanto, da equação anterior, restará:
\[\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=K \ .\]
Integrando-se duas vezes:
\[u(y)=Ky^2+C_1 y + C_2 \ .\]
Com as condições de contorno
\[ \Bigg\{ \begin{array}{1} u(0)=0 \ u(h)=0 \end{array} \ \to \Bigg\{ \begin{array}{1} C_2=0 \ C_1=-Kh/\mu \end{array} \ \]
A função para distribuição de velocidades entre as placas será então
\[u(y)=\frac{K}{\mu} \left( y^2 - hy \right) \]