4) Sejam f e g funções reais dadas por   sen 2x f x cos x  e  g x 2 , cada uma definida no seu domínio mais amplo possível. Analise as afi...

Vamos analisar cada afirmação: I) O conjunto solução da equação \(f(x) = g(x)\) contém infinitos elementos. Para encontrar o conjunto solução, precisamos igualar as duas funções e resolver a equação. Neste caso, teríamos \(\sin(2x)\cos(x) = 2\). Essa equação não necessariamente terá infinitas soluções, então a afirmação I é falsa. II) No intervalo \(\frac{3\pi}{5}\) a \(\frac{4\pi}{4}\), a função \(f\) é crescente. Para verificar se a função é crescente nesse intervalo, precisamos analisar o sinal da derivada. Como a função \(f(x) = \sin(2x)\cos(x)\), sua derivada é \(f'(x) = 2\cos(2x)\cos(x) - \sin(2x)\sin(x)\). Para determinar se é crescente, precisamos analisar o sinal de \(f'(x)\) nesse intervalo. Portanto, a afirmação II pode ser verdadeira ou falsa, dependendo do sinal de \(f'(x)\) nesse intervalo. III) O período da função \(f\) é \(p = \pi\). A função \(f(x) = \sin(2x)\cos(x)\) tem um período \(p = \pi\), pois a função seno tem período \(2\pi\) e a função cosseno tem período \(2\pi\), então o período da multiplicação dessas funções é \(\pi\). Portanto, a afirmação III é verdadeira. Com base nessa análise, a resposta correta é: a) Apenas III é verdadeira.