Determine o raio e o intervalo de convergência, respectivamente, da série de potência Σ∞1(x−5)k(k+1)!Σ1∞(x−5)k(k+1)! 0 e [5] ∞ e [5] 0 e [−5] ∞ e ...

Para determinar o raio de convergência de uma série de potência, utilizamos a fórmula de Cauchy-Hadamard: \[ R = \lim_{k \to \infty} \left| \frac{a_k}{a_{k+1}} \right| \] Neste caso, a série é dada por \( \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(x-5)^k}{k(k+1)!} \). Calculando o limite: \[ \lim_{k \to \infty} \left| \frac{\frac{(x-5)^k}{k(k+1)!}}{\frac{(x-5)^{k+1}}{(k+1)((k+1)+1)!}} \right| \] \[ \lim_{k \to \infty} \left| \frac{(x-5)^k}{k(k+1)!} \cdot \frac{(k+1)((k+1)+1)!}{(x-5)^{k+1}} \right| \] \[ \lim_{k \to \infty} \left| \frac{(x-5)^k}{(x-5)^{k+1}} \right| \] \[ \lim_{k \to \infty} \left| \frac{1}{x-5} \right| \] \[ \frac{1}{|x-5|} \] Portanto, o raio de convergência é \( R = 1 \) e o intervalo de convergência é \( [4, 6] \).