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Uma empresa de seguros analisou a frequência com 2.000 segurados, sendo 1.000 mulheres e 1.000 homens, usaram hospitais conveniados. Os resultados foram:
homens mulheres
usaram hospitais 100 150
não usaram hospitais 900 850
a. Calcular a proporção de homens entre os indivíduos que usaram os hospitais.
b. Usam os hospitais independentemente do sexo do segurado.

AdmComigo

há 2 anos

AdmComigo

há 2 anos

245 pág.

Estatística Aplicada à Gestão

ESTÁCIO

Respostas

há 2 anos

Para calcular a proporção de homens entre os indivíduos que usaram os hospitais, você deve dividir o número de homens que usaram hospitais pelo total de pessoas que usaram hospitais. Assim, a proporção de homens é 100 / (100 + 150) = 100 / 250 = 0,4 ou 40%. Para verificar se o uso dos hospitais é independente do sexo do segurado, você pode comparar as proporções de homens e mulheres que usaram hospitais com as proporções de homens e mulheres que não usaram hospitais. Se as proporções forem semelhantes, então o uso dos hospitais é independente do sexo do segurado.

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Os gráficos e distribuição de frequências são utilizados em diversos outros indicadores. A fonte é confiável e os dados são muito interessantes. Qual é a afirmação correta sobre a distribuição das famílias segundo o grau de dificuldade de chegar até o fim do mês?
17,9% - muita dificuldade
21,4% - dificuldade
35,9% - alguma dificuldade
14,3% - alguma facilidade
9,5% - facilidade
1% - muita facilidade
a) A distribuição é bimodal.
b) A distribuição é trimodal.
c) A distribuição é multimodal.
d) A distribuição é amodal.

Entende-se por curtose de uma distribuição seu grau de achatamento em geral medido em relação à distribuição normal. Assinale a opção que dá o valor da curtose C para a distribuição de X.

a. 0,263
b. 0,250
c. 0,300
d. 0,242
e. 0,000

Determinar o espaço amostral dos experimentos anteriores. Onde, Si refere-se ao experimento Ei.

S1 = { 1,2,3,4,5,6 }
S2 = { 0, 1, 2, 3, 4 }
S3 = { cccc, ccck, cckc, ckcc, kccc, cckk, kkcc, ckck, kckc, kcck, ckkc, ckkk, kckk, kkck, kkkc, kkkk }
S4 = { 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 , 10 }
S5 = { t ∈ R/ t ≤ 0 }
S6 = { 1, 2, 3, 4, 5, ... }
S7 = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 }
S8 = { (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6) }

Isto é, a probabilidade do evento A é o quociente entre o número “m” de casos favoráveis e o número “n” de casos possíveis.

exemplo
Calcular a probabilidade de no lançamento de um dado equilibrado obter-se:

a. Um resultado igual a 4.
b. Um resultado ímpar.

Solução:
S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } n = 6

a. A = { 4 } m = 1 então P(A) = m / n = 1 / 6 = 16,67%
b. B = { 1, 3, 5 } m = 3 então P(B) = m / n = 3 / 6 = 50%

3.4. regras do Cálculo das Probabilidades
Para facilitar quando precisamos solucionar problemas de cálculos de probabilidades, é necessário aprender as propriedades e as seguintes regras:

1. 0 ≤ P (A) ≤ 1: A probabilidade de um evento A deve ser o número maior ou igual a zero e menor ou igual a 1.
2. P (S) = 1: A probabilidade do evento certo é igual a 1.
3. P (Ø) = 0: A probabilidade do evento impossível é igual a zero.
4. Regra da Soma das Probabilidades. Se A e B forem dois eventos mutuamente exclusivos ( A ∩ B = Ø ), então:

P ( A ∪ B ) = P ( A + B ) = P (A) + P (B)

Nota: Esta propriedade pode ser generalizada para um número maior de eventos, desde que eles sejam 2 a 2 mutuamente exclusivos. Assim se A, B, e C forem dois a dois exclusivos:

( A ∩ B = Ø; A ∩ C = Ø; B ∩ C = Ø )

Então:
P ( A ∪ B ∪ C ) = P (A) + P (B) + P (C)

Estatística aplicada à gestão / UA 09 Probabilidade: Espaço Amostral, Probabilidade Condicional, Árvore de Decisão e Regra de Bayes 11

1. Se A e B não forem mutuamente exclusivos, então:

P ( A ∪ B ) = P (A) + P (B) - P ( A ∩ B )

2. Se A’ é o evento complementar de A, então:

P (A') = 1 - P (A)

exemplo
Aplicando as regras 4, 5 e 6:
Lançar um dado de 6 faces, considere os eventos:
A = { sair o número 3 }
B = { sair um número par }
C = { sair um número impar }.
Avaliar P (A); P (B); P (C); P ( A ∪ B ); P ( A ∩ C ); P ( A ∪ C ); P (Ā’).

N.C.F ao evento A
N.T.C.

N.C.F = Número de Casos Favoráveis ao evento A
N.T.C = Número Total de Casos

Resolução:
S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }; A = { 3 }; B = { 2, 4, 6 }; C = { 1, 3, 5 }

P (A) = N.C.F ao evento A / N.T.C. = 1 / 6
P (B) = N.C.F ao evento B / N.T.C. = 3 / 6 = 1 / 2
P (C) = N.C.F ao evento C / N.T.C. = 3 / 6 = 1 / 2

Estatística aplicada à gestão / UA 09 Probabilidade: Espaço Amostral, Probabilidade Condicional, Árvore de Decisão e Regra de Bayes 12

P ( A ∪ B ) = P (A) + P (B) observe que A e B são mutuamente exclusivos ( A ∩ B = Ø ).

P ( A ∪ B ) = 1 / 6 + 1 / 2 = 2 / 3

P ( A ∩ C ) = N.C.F ao evento A ∩ C / N.T.C. = 1 / 6

Observe que A ∩ C = { 3 }.

P ( A ∪ C ) = P (A) + P (B) - P (A ∩ C)

Observe que A e C não são mutuamente exclusivos:

A ∩ C = { 3 }

P ( A ∪ C ) = 1 / 6 + 1 / 2 - 1 / 6 = 1 / 2

P (A’) = 1 - P ( A ) = 1 - 1 / 6 = 5 / 6

Observe que Ā = { 1, 2, 4, 5, 6 }.

3.5. Probabilidade Condicional e Independente
Se A e B são eventos de um espaço amostral S, com P(B) ≠ 0, então a probabilidade condicional do evento A, tendo ocorrido o evento B, é indicada por P ( A | B ) é definida) pela relação:

P ( A | B ) = P ( A ∩ B ) / P (B)

Atenção
P (B) é diferente de zero, então a probabilidade condicional de A relativa a B, é a probabilidade de A dado B.

Observe que a probabilidade do evento A, sem a informação da ocorrência de B, é:

P (A) = 1 / 15

Mas, foi dada a informação que o número sorteado é par, então o espaço amostral fica reduzido para:

S* = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 }

E a partir deste espaço amostral avalia-se a probabilidade do evento A:

P ( A | B ) = N.C.F. ao evento A ∩ B / N. C. F. ao evento B = 1 / 7

A ∩ B = { 6 } e B = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 }

Estatística aplicada à gestão / UA 09 Probabilidade: Espaço Amostral, Probabilidade Condicional, Árvore de Decisão e Regra de Bayes 14

P ( A | B ) lê-se: a probabilidade de sair o número 6, dado que o número sorteado foi par.

Uma urna contém duas bolas brancas (B) e três vermelhas (V). Suponha que sejam sorteadas duas bolas ao acaso, sem reposição. Ou seja, que ao sortearmos a primeira bola, verificamos sua cor e não devolvemos para a urna. Então misturamos as restantes na urna e retiramos outra.

Pela Árvore de Decisão.
Pelos seus galhos, podemos indicar as probabilidades das ocorrências:

2 / 5
3 / 5
sorteio
2 / 5
3 / 5
v
v b v b
b
Se A for o evento “bola branca na segunda retirada ou extração”, então

P (A) = P ( BB ) + P ( VB ) = 2 / 20 + 6 / 20 = 2 / 5

Se forem colocados os resultados da probabilidade em uma tabela teremos:

resultados Probabilidades
BB 2 / 5 × 1 / 4 = 2 / 20
BV 2 / 5 × 3 / 4 = 6 / 20
VB 3 / 5 × 2 / 4 = 6 / 20
VV 3 / 5 × 2 / 4 = 6 / 20
Total 1
Tabela 1. Resultados x Probabilidades.

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Agora, imagine que as duas retiradas ou extrações são feitas da mesma urna anterior, porém a primeira bola é reposta, antes da retirada ou extração da segunda. Neste caso, as extrações são independentes, pois o resultado da uma extração não tem influência no resultado da outra.

Veja como ficaria a Árvore de Decisão:

2 / 5
3 / 5
sorteio
2 / 5
3 / 5
2 / 5
3 / 5
v
v b v b
b
Se forem colocados os resultados da probabilidade em uma tabela teremos:

resultados Probabilidades
BB 2 / 5 × 2 / 5 =

Há duas caixas pretas, onde a caixa A possui: 5 bolas brancas, 4 bolas pretas e 3 bolas vermelhas e na caixa B possui: 4 bolas brancas, 3 bolas pretas e 6 bolas vermelhas.

a. Calcular a probabilidade de retirar uma bola branca da caixa A.

b. Qual a probabilidade de retirarmos uma bola preta da caixa B?

c. Determine a probabilidade de retirarmos uma bola branca ou vermelha da caixa A.

d. São retiradas duas bolas da caixa B, sem reposição. Qual a probabilidade de ambas serem vermelhas?

e. Qual a probabilidade de serem retiradas duas bolas pretas da caixa A, com reposição?

respostas:
a. 5/12
b. 3/13
c. 2/3
d. 5/26
e. 1/9

Sabe-se que 30% das compras numa loja são realizadas por cartão de crédito. Se uma loja tem cinco pessoas na fila de pagamento, qual é a probabilidade de dois clientes da fila pagar com o cartão de crédito?

Do exemplo anterior a proporção de fumantes numa amostra de n = 50 foi de p̂ = 0,16. Como as condições para o uso da expressão do intervalo de confiança são válidas, isto é, np̂ = 50 × 0,16 = 8 e np̂(1 – p̂) = 50 × (1 – 0,16) = 42, são maiores que 5, o intervalo de confiança com coeficiente de confiança de 90% será: p̂ ± zγ p̂×(1 – p̂) n ⇒ 0,16 ± 1,645 0,16×(1 – 0,16) 50 ⇒ ⇒ 0,160 ± 0,085 O intervalo de confiança é de ] 0,075; 0,245 [, isto é, a porcentagem de fumantes dessa indústria está entre 7,5% a 24,5% com coeficiente de confiança de 90%.

1- A definição de População e amostra são respectivamente, conjunto de elementos
a) com alguma característica em comum e uma parte da população com alguma característica em comum.
b) que não precisa possuir nenhuma as características em comum e a amostra também na precisa ter.
c) que precisa possuir pelo menos duas características em comum e a amostra também.
d) que precisa possuir pelo menos três características em comum e a amostra.

a) com alguma característica em comum e uma parte da população com alguma característica em comum.
b) que não precisa possuir nenhuma as características em comum e a amostra também na precisa ter.
c) que precisa possuir pelo menos duas características em comum e a amostra também.
d) que precisa possuir pelo menos três características em comum e a amostra.

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Entende-se por curtose de uma distribuição seu grau de achatamento em geral medido em relação à distribuição normal. Assinale a opção que dá o valor da curtose C para a distribuição de X.a. 0,263b. 0,250c. 0,300d. 0,242e. 0,000

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a. 0,263
b. 0,250
c. 0,300
d. 0,242
e. 0,000