Isto é, a probabilidade do evento A é o quociente entre o número “m” de casos favoráveis e o número “n” de casos possíveis.

exemplo
Calcular a probabilidade de no lançamento de um dado equilibrado obter-se:

a. Um resultado igual a 4.
b. Um resultado ímpar.

Solução:
S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } n = 6

a. A = { 4 } m = 1 então P(A) = m / n = 1 / 6 = 16,67%
b. B = { 1, 3, 5 } m = 3 então P(B) = m / n = 3 / 6 = 50%

3.4. regras do Cálculo das Probabilidades
Para facilitar quando precisamos solucionar problemas de cálculos de probabilidades, é necessário aprender as propriedades e as seguintes regras:

1. 0 ≤ P (A) ≤ 1: A probabilidade de um evento A deve ser o número maior ou igual a zero e menor ou igual a 1.
2. P (S) = 1: A probabilidade do evento certo é igual a 1.
3. P (Ø) = 0: A probabilidade do evento impossível é igual a zero.
4. Regra da Soma das Probabilidades. Se A e B forem dois eventos mutuamente exclusivos ( A ∩ B = Ø ), então:

P ( A ∪ B ) = P ( A + B ) = P (A) + P (B)

Nota: Esta propriedade pode ser generalizada para um número maior de eventos, desde que eles sejam 2 a 2 mutuamente exclusivos. Assim se A, B, e C forem dois a dois exclusivos:

( A ∩ B = Ø; A ∩ C = Ø; B ∩ C = Ø )

Então:
P ( A ∪ B ∪ C ) = P (A) + P (B) + P (C)

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1. Se A e B não forem mutuamente exclusivos, então:

P ( A ∪ B ) = P (A) + P (B) - P ( A ∩ B )

2. Se A’ é o evento complementar de A, então:

P (A') = 1 - P (A)

exemplo
Aplicando as regras 4, 5 e 6:
Lançar um dado de 6 faces, considere os eventos:
A = { sair o número 3 }
B = { sair um número par }
C = { sair um número impar }.
Avaliar P (A); P (B); P (C); P ( A ∪ B ); P ( A ∩ C ); P ( A ∪ C ); P (Ā’).

N.C.F ao evento A
N.T.C.

N.C.F = Número de Casos Favoráveis ao evento A
N.T.C = Número Total de Casos

Resolução:
S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }; A = { 3 }; B = { 2, 4, 6 }; C = { 1, 3, 5 }

P (A) = N.C.F ao evento A / N.T.C. = 1 / 6
P (B) = N.C.F ao evento B / N.T.C. = 3 / 6 = 1 / 2
P (C) = N.C.F ao evento C / N.T.C. = 3 / 6 = 1 / 2

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P ( A ∪ B ) = P (A) + P (B) observe que A e B são mutuamente exclusivos ( A ∩ B = Ø ).

P ( A ∪ B ) = 1 / 6 + 1 / 2 = 2 / 3

P ( A ∩ C ) = N.C.F ao evento A ∩ C / N.T.C. = 1 / 6

Observe que A ∩ C = { 3 }.

P ( A ∪ C ) = P (A) + P (B) - P (A ∩ C)

Observe que A e C não são mutuamente exclusivos:

A ∩ C = { 3 }

P ( A ∪ C ) = 1 / 6 + 1 / 2 - 1 / 6 = 1 / 2

P (A’) = 1 - P ( A ) = 1 - 1 / 6 = 5 / 6

Observe que Ā = { 1, 2, 4, 5, 6 }.

3.5. Probabilidade Condicional e Independente
Se A e B são eventos de um espaço amostral S, com P(B) ≠ 0, então a probabilidade condicional do evento A, tendo ocorrido o evento B, é indicada por P ( A | B ) é definida) pela relação:

P ( A | B ) = P ( A ∩ B ) / P (B)

Atenção
P (B) é diferente de zero, então a probabilidade condicional de A relativa a B, é a probabilidade de A dado B.

Observe que a probabilidade do evento A, sem a informação da ocorrência de B, é:

P (A) = 1 / 15

Mas, foi dada a informação que o número sorteado é par, então o espaço amostral fica reduzido para:

S* = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 }

E a partir deste espaço amostral avalia-se a probabilidade do evento A:

P ( A | B ) = N.C.F. ao evento A ∩ B / N. C. F. ao evento B = 1 / 7

A ∩ B = { 6 } e B = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 }

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P ( A | B ) lê-se: a probabilidade de sair o número 6, dado que o número sorteado foi par.

Uma urna contém duas bolas brancas (B) e três vermelhas (V). Suponha que sejam sorteadas duas bolas ao acaso, sem reposição. Ou seja, que ao sortearmos a primeira bola, verificamos sua cor e não devolvemos para a urna. Então misturamos as restantes na urna e retiramos outra.

Pela Árvore de Decisão.
Pelos seus galhos, podemos indicar as probabilidades das ocorrências:

2 / 5
3 / 5
sorteio
2 / 5
3 / 5
v
v b v b
b
Se A for o evento “bola branca na segunda retirada ou extração”, então

P (A) = P ( BB ) + P ( VB ) = 2 / 20 + 6 / 20 = 2 / 5

Se forem colocados os resultados da probabilidade em uma tabela teremos:

resultados Probabilidades
BB 2 / 5 × 1 / 4 = 2 / 20
BV 2 / 5 × 3 / 4 = 6 / 20
VB 3 / 5 × 2 / 4 = 6 / 20
VV 3 / 5 × 2 / 4 = 6 / 20
Total 1
Tabela 1. Resultados x Probabilidades.

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Agora, imagine que as duas retiradas ou extrações são feitas da mesma urna anterior, porém a primeira bola é reposta, antes da retirada ou extração da segunda. Neste caso, as extrações são independentes, pois o resultado da uma extração não tem influência no resultado da outra.

Veja como ficaria a Árvore de Decisão:

2 / 5
3 / 5
sorteio
2 / 5
3 / 5
2 / 5
3 / 5
v
v b v b
b
Se forem colocados os resultados da probabilidade em uma tabela teremos:

resultados Probabilidades
BB 2 / 5 × 2 / 5 =