Questão 3/10 - Cálculo Diferencial Considere o problema: O ar  é bombeado para dentro de um balão esférico e seu volume cresce a uma taxa de 100 c ...

Para resolver essa questão, precisamos calcular a taxa de variação do raio do balão quando o diâmetro é de 50 cm. Sabemos que o volume de uma esfera é dado por \( V = \frac{4}{3} \pi r^3 \), onde \( r \) é o raio da esfera. A taxa de variação do volume em relação ao tempo é de 100 cm³/s. Queremos encontrar a taxa de variação do raio quando o diâmetro é de 50 cm. Para isso, podemos relacionar o volume com o raio da seguinte forma: \( V = \frac{4}{3} \pi (\frac{d}{2})^3 \), onde \( d \) é o diâmetro. Diferenciando em relação ao tempo, temos: \( \frac{dV}{dt} = 4 \pi (\frac{d}{2})^2 \frac{dr}{dt} \). Substituindo os valores conhecidos, podemos encontrar a taxa de variação do raio. Vamos calcular: \( 100 = 4 \pi (\frac{50}{2})^2 \frac{dr}{dt} \) \( 100 = 4 \pi (25)^2 \frac{dr}{dt} \) \( 100 = 4 \pi (625) \frac{dr}{dt} \) \( 100 = 2500 \pi \frac{dr}{dt} \) \( \frac{dr}{dt} = \frac{100}{2500 \pi} \) \( \frac{dr}{dt} = \frac{1}{25 \pi} \) Portanto, a alternativa correta é: C) \( 25 \pi \, cm/s \)