Para a determinação de funções linearmente independentes há uma aplicação do determinante denominada Wronskiano. Considerando essa aplicação, de...

Question

Para a determinação de funções linearmente independentes há uma aplicação do determinante denominada Wronskiano. Considerando essa aplicação, de...

Para a determinação de funções linearmente independentes há uma aplicação do determinante denominada Wronskiano. Considerando essa aplicação, determine a função da seguinte equação. 3 y apostrophe apostrophe minus 12 y apostrophe plus 12 y equals 0 A) y equals c subscript 1. e to the power of 4 x end exponent plus c subscript 2. e to the power of 3 x end exponent B) y equals c subscript 1. e to the power of 2 x end exponent plus c subscript 2. x. e to the power of 2 x end exponent C) y equals c subscript 1. e to the power of 3 x end exponent plus c subscript 2. x. e to the power of 3 x end exponent D) y equals c subscript 1. e to the power of 4 x end exponent plus c subscript 2. e to the power of 4 x end exponent E) y equals c subscript 1. e to the power of 2 x end exponent plus c subscript 2. e to the power of 3 x end exponent

Equações Diferenciais I

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ENIAC

0

1

LEANDRO ANTONIO CARLINI

03/05/2024

Ed · Answer

Para determinar a função da equação dada usando o Wronskiano, precisamos calcular o determinante Wronskiano da equação diferencial dada. O determinante Wronskiano é dado por:

W = |y₁  y₂|
    |y₁' y₂'|

Onde y₁ e y₂ são soluções da equação diferencial dada e y₁' e y₂' são as derivadas dessas soluções.

Dada a equação diferencial: 3y'' - 12y' + 12y = 0

As soluções dessa equação são da forma y = e^(rx), onde r é a raiz da equação característica r² - 4r + 4 = 0, que tem uma raiz dupla r = 2.

Portanto, as soluções são y₁ = e^(2x) e y₂ = x * e^(2x).

Agora, calculando o determinante Wronskiano:

W = |e^(2x)  x * e^(2x)|
    |2e^(2x)  (1 * e^(2x) + 2x * e^(2x))|

W = e^(2x) * (1 - 2x)

Como o determinante Wronskiano é diferente de zero para as soluções serem linearmente independentes, a resposta correta é:

C) y = c₁ * e^(3x) + c₂ * x * e^(3x)

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