Exemplo 2.2.3. Calcule o Wronskiano das duas soluções da equação x2y′′ − xy′ + ( cos 2x + e sen x)y = 0, x > 0.

Para calcular o Wronskiano das duas soluções da equação x²y′′ − xy′ + (cos 2x + e sen x)y = 0, x > 0, primeiro precisamos encontrar as duas soluções da equação diferencial. Podemos tentar uma solução da forma y = x^r. Substituindo na equação, obtemos: x²r(r-1) - xr + (cos 2x + e sen x)x^r = 0 Dividindo toda a equação por x^r, temos: r(r-1) - r/x + cos 2x + e sen x = 0 Multiplicando toda a equação por x, temos: r² - r + x cos 2x + x e sen x = 0 Podemos tentar uma solução da forma de série de potência y = ∑(n=0)∞ a_n x^(n+r). Substituindo na equação, obtemos: ∑(n=0)∞ a_n [(n+r)(n+r-1) - (n+r) + cos 2x + e sen x] x^(n+r) = 0 Podemos reescrever a equação como: ∑(n=0)∞ a_n [(n+r)(n+r-1) + cos 2x + e sen x] x^(n+r) - ∑(n=0)∞ a_n x^(n+r+1) = 0 Igualando a zero os coeficientes de cada potência de x, obtemos: a_0 [(r)(r-1) + cos 2x + e sen x] = 0 a_1 [(r+1)(r) + cos 2x + e sen x] + a_0 [(r)(r-1) + cos 2x + e sen x] = 0 a_2 [(r+2)(r+1) + cos 2x + e sen x] + a_1 [(r+1)(r) + cos 2x + e sen x] = 0 ... Podemos ver que a_0 não pode ser zero, caso contrário teríamos a solução trivial y = 0. Portanto, a primeira equação nos dá: (r)(r-1) + cos 2x + e sen x = 0 Podemos tentar uma solução da forma de série de potência para r. Substituindo na equação, obtemos: ∑(n=0)∞ a_n [(n+r)(n+r-1)] x^(n+r) + cos 2x ∑(n=0)∞ a_n x^(n+r) + e sen x ∑(n=0)∞ a_n x^(n+r) = 0 Igualando a zero os coeficientes de cada potência de x, obtemos: a_0 [(r)(r-1)] = 0 a_1 [(r+1)(r)] + a_0 [(r)(r-1)] = 0 a_2 [(r+2)(r+1)] + a_1 [(r+1)(r)] = 0 ... Podemos ver que a_0 não pode ser zero, caso contrário teríamos a solução trivial y = 0. Portanto, a primeira equação nos dá: (r)(r-1) = -cos 2x - e sen x Podemos ver que as soluções são complexas, portanto, podemos escrever r = α + iβ. Substituindo na equação acima, obtemos: (α + iβ)(α + iβ - 1) = -cos 2x - e sen x Podemos igualar as partes real e imaginária da equação acima para obter as soluções para α e β. As soluções são: α = ±√(cos 2x + e sen x) β = ±√(cos 2x + e sen x) Portanto, as duas soluções da equação diferencial são: y1(x) = x^√(cos 2x + e sen x) y2(x) = x^-√(cos 2x + e sen x) O Wronskiano das duas soluções é dado por: W(y1, y2)(x) = y1(x)y2'(x) - y1'(x)y2(x) Substituindo as soluções acima, obtemos: W(y1, y2)(x) = x^√(cos 2x + e sen x) [-√(cos 2x + e sen x) x^-√(cos 2x + e sen x) - √(cos 2x + e sen x) x^-√(cos 2x + e sen x)] - √(cos 2x + e sen x) x^-√(cos 2x + e sen x) [√(cos 2x + e sen x) x^√(cos 2x + e sen x) - √(cos 2x + e sen x) x^√(cos 2x + e sen x)] Simplificando, obtemos: W(y1, y2)(x) = -2√(cos 2x + e sen x) Portanto, o Wronskiano das duas soluções é -2√(cos 2x + e sen x).