AULA TORÇÃO

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• TORÇÃO
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• Torque é um momento que tende a torcer um elemento em torno de seu 
eixo longitudinal.
• Se o ângulo de rotação for pequeno, o comprimento e o raio do eixo 
permanecerão inalterados.
Deformação por torção de um eixo circular
Discussão Preliminar das Tensões em uma Barra de Seção 
Circular.
( ) == dAdFT 
Forças de cisalhamento elementares são 
equivalentes a um torque interno, igual e 
oposta ao torque aplicado,
Embora o momento das forças de cislhamento seja 
conhecido, a distribuição das tensões na seção 
tranversal não é.
Ao contrário da tensão normal devido à carga axial, 
a distribuição das tensões de cisalhamento devido 
a cargas de torção não pode ser considerada 
uniforme.
Distribuição de tensões de cisalhamento é 
estaticamente indeterminada por isso deve-se 
considerar as deformações do eixo.
Componentes de Cisalhamento 
Axial
Torque aplicado ao eixo produz tensões de 
cisalhamento nas faces perpendiculares ao 
eixo.
Condições de equilíbrio requer a existência de 
tensões iguais no faces formadas pelos dois 
planos que contêm o eixo da barra.
As tiras adjacentes deslizam uma em relação à 
outra, quando torques iguais e opostas são 
aplicadas nas extremidades da barra.
A existência de componentes de cisalhamento 
axial é demonstrada, considerando um eixo 
formado por tiras separadas e fixadas por meio 
de pinos. 
A partir da observação, o ângulo de torção da 
barra é proporcional ao torque aplicado e ao 
comprimento da barra.
L
T




Deformações em uma Barra de 
Seção Circular
Quando uma barra circular é submetida à torção, 
toda seção transversal plana permanece plana e 
indeformada. 
Deformações de Cisalhamento
Considerar a seção interna da barra. Como a 
barra é submetida a um carregamento 
torcional, o elemento do cilindro interior se 
deforma em um losango. 
A deformação de cisalhamento é proporcional a 
distância do eixo da barra
maxmax e 




cL
c
==
L
L

 == ou 
Segue-se que
Uma vez que as extremidades do elemento 
permanecem planas, a deformação de 
cisalhamento é igual ao ângulo de torção.
Tensões no Regime Elástico
J
c
dA
c
dAT max2max



  = ==
Lembre-se que a soma dos momentos das forças 
elementares internas é igual ao torque no eixo da 
seção,
 e max
J
T
J
Tc 
 ==
Os resultados são conhecidos como as fórmulas de 
torção no regime elástico,
Multiplicando a equação anterior pelo módulo de 
elasticidade,
max

 G
c
G =
max


c
=
Da Lei de Hooke,  G= , assim
Tensão de cisalhamento varia linearmente com a 
distância radial do eixo da barra.
4
2
1 cJ =
( )414221 ccJ −= 
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• Se o material for linear elástico, então a lei de Hooke se aplica. 
• Uma variação linear na deformação por cisalhamento resulta em uma 
variação linear na tensão de cisalhamento correspondente ao longo de 
qualquer linha radial na seção transversal.
J
T
J
Tc 
 == ou máx
= tensão de cisalhamento máxima no eixo
= deformação por cisalhamento
= torque interno resultante
= momento polar de inércia da área da seção 
transversal
= raio externo do eixo
= distância intermediária
máx

T
J
c

A fórmula da torção
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• Se o eixo tiver uma seção transversal circular maciça,
• Se o eixo tiver uma seção transversal tubular,
4
2
cJ

=
( )44
2
io ccJ −=

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O eixo maciço de raio c é submetido a um torque T. Determine a fração de T à qual 
resiste o material contido no interior da região externa do eixo, que tem raio c/2 e 
raio externo c.
Solução:
( ) ( ) ( ) dcdAdT 2' máx==
( ) máx c=
Para toda a área sombreada mais clara, o torque é
(1) 
32
152
' 3máx
2/
3máx cd
c
T
c
c




== 
A tensão no eixo varia linearmente, tal que .
O torque no anel (área) localizado no interior da região
sombreada mais clara é
Exemplo 5.2
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Usando a fórmula de torção para determinar a tensão máxima no eixo, temos
(Resposta) 
16
15
' TT =
( )
3máx
4máx
2
2
c
T
c
Tc
J
Tc




=
==
Substituindo essa expressão na Equação 1,
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O eixo está apoiado em dois mancais e sujeito a três torques. Determine a tensão 
de cisalhamento desenvolvida nos pontos A e B localizados na seção a–a do eixo.
Exemplo 5.3
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Solução:
Pelo diagrama de corpo livre do segmento esquerdo,
( ) mm 1097,475
2
74 ==

J
mmkN 250.10000.3250.4 ;0 ==−−= TTM x
O momento polar de inércia para o eixo é
Visto que A se encontra em ρ = c = 75 mm,
( )( )
(Resposta) MPa 89,1
1097,4
75250.1
7
=

==
J
Tc
B
Da mesma forma, para B, em ρ =15 mm, temos
( )( )
(Resposta) MPa 377,0
1097,4
15250.1
7
=

==
J
Tc
B
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• Potência é definida como o trabalho realizado por unidade de tempo.
• Para um eixo rotativo com torque, a potência é:
• Visto que , a equação para a potência é
• Para o projeto do eixo, o parâmetro de projeto ou parâmetro geométrico é:
dtdTP / é eixo doangular e velocidada onde  ==
f 2rad 2ciclo 1 ==
fTP 2=
adm
T
c
J
=
Transmissão de potência
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Um eixo maciço de aço AB será usado para transmitir 3.750 W do motor M ao qual 
está acoplado. Se o eixo girar a ω = 175 rpm e o aço tiver uma tensão de 
cisalhamento admissível τadm = 100 MPa, determine o diâmetro exigido para o eixo 
com precisão de mm.
Exemplo 5.5
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Solução:
O torque no eixo é
Nm 6,204
60
2175
750.3 =




 
=
=
TT
TP


Assim,
( )( )
( )
mm 92,10
100
000.16,20422
2
3/13/1
adm
adm
4
=





=







=
==



T
c
T
c
c
c
J
Visto que 2c = 21,84 mm, selecione um eixo com diâmetro 22 mm.
Ângulo de Torção no Regime Elástico
Lembre-se que o ângulo de torção e a deformação de 
cisalhamento máxima estão relacionados,
L
c
 =max
No regime elástico, a tensão de cisalhamento e a 
deformação de cisalhamento estão relacionados 
pela Lei de Hooke,
JG
Tc
G
== maxmax


Igualando as expressões para a tensão de 
cisalhamento e resolvendo para o ângulo de torção
JG
TL
=
Se o eixo consistir em várias partes com diferentes 
seções transversais e diferentes materiais ao longo 
do seu comprimento, o ângulo de torção é 
encontrado com a soma dos ângulos de torção de 
cada componente. =
i ii
ii
GJ
LT

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• Integrando em todo o comprimento L do eixo, temos
• Considerando que o material é homogêneo, G é constante, logo
• A convenção de sinal é determinada pela regra 
da mão direita.
( )
( )
=
L
GxJ
dxxT
0

Φ = ângulo de torção
T(x) = torque interno
J(x) = momento polar de inércia do eixo
G = módulo de elasticidade ao cisalhamento
JG
TL
=
Ângulo de torção
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• Integrando em todo o comprimento L do eixo, temos
• Considerando que o material é homogêneo, G é constante, logo
• A convenção de sinal é determinada pela regra 
da mão direita.
( )
( )
=
L
GxJ
dxxT
0

Φ = ângulo de torção
T(x) = torque interno
J(x) = momento polar de inércia do eixo
G = módulo de elasticidade ao cisalhamento
JGTL
=
Ângulo de torção
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Os dois eixos maciços de aço estão interligados por meio das engrenagens. 
Determine o ângulo de torção da extremidade A do eixo AB quando é aplicado o 
torque 45 Nm. Considere G = 80 GPa. O eixo AB é livre para girar dentro dos 
mancais E e F, enquanto o eixo DC é fixo em D. Cada eixo tem diâmetro de 
20 mm.
Exemplo 5.8
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Solução:
Do diagrama de corpo livre,
( ) ( ) Nm 5,22075,0300
N 30015,0/45
==
==
xD
T
F
O ângulo de torção em C é
( )( )
( )( ) ( ) 
rad 0269,0
1080001,02
5,15,22
94
+=
+
==


JG
TLDC
C
Visto que as engrenagens na extremidade estão engrenadas,
( ) ( )( ) rad 0134,0075,00269,015,0 =B
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Visto que o ângulo na extremidade A em relação ao extremo B do eixo AB 
causada pelo torque de 45 Nm,
( )( )
( )( ) ( ) 
rad 0716,0
1080010,02
245
94/
+=
+
==


JG
LT ABAB
BA
A rotação da extremidade A é portanto
(Resposta) rad 0850,00716,00134,0/ +=+=+= BABA 