Chamamos equações do 1º grau com duas variáveis, toda equação que pode ser reduzida a uma equivalente da forma: ax + by = c com a e b não nulos ao ...

Chamamos equações do 1º grau com duas variáveis, toda equação que pode ser reduzida a uma equivalente da forma: ax + by = c com a e b não nulos ao mesmo tempo. Ex.: x + y = 9 4x - y = 5 Solução de uma equação do 1º grau com duas variáveis As equações do 1º grau com duas variáveis 'x' e 'y' possuem infinitas soluções as quais podem ser determinadas atribuindo-se valores arbitrários para uma das variáveis e, em seguida, calcula-se o valor da outra. Esses valores significam o par ordenado de números (x, y) o qual tornará a sentença verdadeira. Ex.: Seja a equação 3x + y = 20 Como dissemos, essa equação possui infinitas soluções. Vejamos: 1. consideremos o par ordenado x = 6 e y = 2 3x + y = 20  3.(6) + (2) = 20 18 + 2 = 20 Logo, o par (6, 2) é uma solução da equação. 2. consideremos o par ordenado x = 7 e y = -1 3x + y = 20  3.(7) + (- 1) = 20 21 - 1 = 20 Logo, o par (7, -1) também é solução da equação. 3. consideremos o par ordenado x = -1 e y = 7 3x + y = 20  3.(-1) + (7) = 20 -3 + 7 ≠ 20 Logo, o par (-1, 7) não é solução para a equação dada. E assim, existem inúmeros outros pares que podem ser solução da equação 3x + y = 20. Sistema de equações do 1º grau Quando duas equações do 1º grau com duas variáveis estão relacionadas entre si, dizemos que elas formam um sistema do 1º grau. Ex.: Um atirador ganha 2 pontos por cada tiro que acerta e 1 para cada que erra. depois de 4 tiros somou 7 pontos. Quantos tiros acertou e quantos errou? Representando por 'x' o número de tiros acertados e por 'y' o números de tiros errados, podemos interpretar as duas condições do problema pelas seguintes equações: x + y = 4 2x + y = 7 Observe que as duas equações possuem duas variáveis cada e se referem ao mesmo fato (atirador). Nesse caso, tem-se um sistema de equação do 1º grau e indica-se por: { 7 = y 2x 4 = y x } Resolução de um sistema do 1º grau Resolver um sistema do 1º grau é determinar um valor para 'x' e outro para 'y' de modo que tornem, ao mesmo tempo, as duas equações verdadeiras. Lembrando que, apesar de cada equação possuir infinitas soluções, o sistema de 1º grau possui uma única solução, ou seja, um único par ordenado. Processos de resolução Para se determinar o conjunto solução (x, y) de um sistema vamos conhecer dois métodos que facilitam a operação. Método da substituição Este método consiste em se isolar uma das variáveis de uma das equações do sistema e substituir o seu valor na mesma variável da outra equação. Ex. 1: Dado o sistema { 6 = y -x 18 = y +2x 1º passo: escolhemos uma das equações do sistema e isolamos uma de suas variáveis. Vamos pegar então a equação 2x + y = 18 Isolando uma das variáveis temos: y = 18 - 2x 2º passo: substituímos, na outra equação, o valor da variável isolada, de modo que resulte uma nova equação com uma só variável. X - y = 6  x - (18 - 2x) = 6 3º passo: feita a substituição, determina-se o valor da variável existente. x - (18 - 2x) = 6  x - 18 + 2x = 6 3x = 6 + 18  Logo, x = 8 4º passo: determinado o valor de uma das variáveis, faz-se a devida substituição nas equações para se achar o valor da outra variável. Assim, y = 18 - 2x  y = 18 - 2(8) y = 18 - 16 = 2 Logo y = 2 Temos, então, a solução do sistema dado pelo par ordenado (8; 2) Método da adição Este método consiste em anular uma das variáveis pela adição das duas equações, membro a membro. Ex. 1: Dado o sistema { 4 = y -x 8 = y +x 1º passo: realiza-se a adição entre as duas equações, eliminando a variável que apresentar elementos simétricos: 2º passo: determina-se o valor da variável da equação resultante da adição: Logo, x = 6 3º passo: substitui-se o valor da variável em qualquer das equações do sistema, para encontrar o valor da outra variável: 8 y 6 8 y x = = + + 2 y 6 - 8 y = = Temos, então, a solução do sistema dado pelo par ordenado S = {(6; 2)} Problemas com equação do 1º grau Para resolver um problema envolvendo equação do 1º grau, devemos traduzir a questão em linguagem matemática, ou seja: Linguagem textual Linguagem matemática um número X um número 'x' somado a outro qualquer diferente de x x + n o dobro de um número 2x A metade de um número 2x O dobro de um número mais sua metade 2x A soma de dois números consecutivos x + (x + 1) Após as devidas transformações, encontramos uma equação do 1º grau a qual deve ser resolvida conforme as regras já estudadas. Exemplos: 01. A soma de dois números é 6 e a diferença entre eles são 2. Quais são esses números? Solução: Sejam 'x' e 'y' os números procurados. De acordo com o enunciado temos: 8 3 24 x == 6 = y +x 14 =3y +x 12 0y 2x 4 y -x 8 y x = = = + + 6 2 12 x 12 2x ===