Vamos analisar cada uma das opções: a) Para a função \( f(x) = x^4 + 3x^2 \) em \( a = -1 \): Calculando a derivada da função, temos \( f'(x) = 4x^3 + 6x \). A linearização em torno de \( a \) é dada por \( L(x) = f(a) + f'(a)(x - a) \). Substituindo os valores, obtemos \( L(x) = 4 + 6(x + 1) = 6x + 10 \). b) Para a função \( f(x) = \sqrt{x} \) em \( a = 4 \): Calculando a derivada da função, temos \( f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \). A linearização em torno de \( a \) é dada por \( L(x) = f(a) + f'(a)(x - a) \). Substituindo os valores, obtemos \( L(x) = 2 + \frac{1}{4}(x - 4) = \frac{1}{4}x - \frac{1}{2} \). c) Para a função \( f(x) = \sin(x) \) em \( a = \frac{\pi}{6} \): Calculando a derivada da função, temos \( f'(x) = \cos(x) \). A linearização em torno de \( a \) é dada por \( L(x) = f(a) + f'(a)(x - a) \). Substituindo os valores, obtemos \( L(x) = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}(x - \frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{1}{2} \). d) Para a função \( f(x) = x^3 \) em \( a = 16 \): Calculando a derivada da função, temos \( f'(x) = 3x^2 \). A linearização em torno de \( a \) é dada por \( L(x) = f(a) + f'(a)(x - a) \). Substituindo os valores, obtemos \( L(x) = 4096 + 768(x - 16) = 768x - 12288 \). Espero que isso tenha esclarecido as linearizações para cada função em torno do valor dado.