C1 Lista de Monitoria 18 - 2023_4

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Cálculo I - 2023-4 
Prática de Exercícios 18 - Diferenciais e Aproximações Lineares
Lista de Monitoria
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Universidade Federal do Pará
22. A aresta de um cubo tem 30 cm, com um possível erro de medida 0, 1 cm. Use a diferencial
para estimar o erro máximo possível no cálculo
a) Do volume do cubo.
b) Da superfície do cubo.
Solução Usamos a diferencial para estimar o erro máximo possível no cálculo:
a) Do volume do cubo.
Seja x a aresta de um cubo. Sabemos que o volume de um cubo de aresta x é dado
por:V = x3
Obtendo a diferencial:
dV
= 3x2 =⇒ dV = 3x2dx
dx
Se o erro em x é 0, 1, então dx = 0, 1.
Como x = 30cm, temos: dV = 3(30)2(0, 1) = 270 cm3.
Portanto, o erro máximo possível no cálculo é de 270 cm3.
b) Da superfície do cubo.
Sabemos que a área da superfície de um cubo, em função da aresta x, é dada por:
A = 6 · x2.
Assim,
dA
= 12 · x =⇒ dA = 12 · xdx.
dx
Assim, temos: dA = 12 · (10) · (0, 1) = 36 cm2.
Portanto, o erro máximo possível no cálculo da superfície é 36 cm2.
23. O raio de um disco circular é 24 cm, com erro possível de 0, 2 cm.
a) Use a diferencial para estimar o erro máximo na área calculada do disco.
b) Qual o erro relativo?
24. Encontre a linearização L(x) da função em a.
a) f(x) = x4 + 3x2 para a = −1
b) f(x) =
√
x para a = 4
c) f(x) = sen(x) para a =
π
6
4
√
d) f(x) = x3 para a = 16
Cálculo I - 2023-4
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Atividade de Monitoria 18
25. Suponha que não tenhamos uma fórmula para h(x), mas saibamos que h(2) = −4 e
h′(x) =
√
x2 + 5 para todo x. Use aproximação linear para estimar h(1, 95) e h(2, 05).
Solução
Usamos aproximação linear para estimar h(1, 95) e h(2, 05). Primeiro, a aproximação linear
será dada por a equação da reta tangente:
h(x) = h(a) + h′(a) · (x− a)
Vamos fazer a aproximação ao redor do 2, portanto a = 2.
h(x) = h(a) + h′(a) · (x− a)
h(x) = h(2) + h′(2) · (x− 2)
Onde h(2) = −4 e h′(2) = 3 Então temos:
h(x) = h(2) + h′(2) · (x− 2)
= −4 + 3 · (x− 2)
= −4 + 3x− 6
Portanto; a aproximação linear é : h(x) = 3x− 10
Calculamos as aproximações em h(1, 95) e h(2, 05)
h(1, 95) = 3 · (1, 95)− 10
h(1, 95) = −4, 15
e h(2, 05)
h(2, 05) = 3 · (2, 05)− 10
h(2, 05) = −3, 85
Logo, aproximações estão próximas de −4, mostrando que a reta num pequeno intervalo se
aproxima ao valor da função original.
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Cálculo I - 2023-4 Atividade de Monitoria 18
A ideia de uma aproximação linear é aproximar essa função de algum valor
particular de entrada x0, com uma função que seja linear. Especificamente, é
assim que essa nova função ou a equação da reta tangente fica:
f(x)− f(x0) ≈ f ′(x0)(x− x0)
f(x) ≈ f(x0) + f ′(x0)(x− x0).
Graficamente, isto significa que se considerarmos um pequeno intervalo contendo o ponto
x0, o gráfico da função se assemelha ao gráfico da reta tangente ao ponto x0 nesse intervalo,
e a semelhança será tanto maior quanto menor for o intervalo.