D de lado AB e diagonal AC. Por hipótese, consideramos que AB e AC são comensuráveis. Então existe um segmento AP que mede AB e AC simultaneamente....

D de lado AB e diagonal AC. Por hipótese, consideramos que AB e AC são comensuráveis. Então existe um segmento AP que mede AB e AC simultaneamente. Nessa figura também representamos um quadrado AB1C1D1, menor que ABCD, construído de forma que o lado AB1 está sobre AC, a diagonal AC1 está sobre AB e o segmento B1C é congruente ao lado BC. O quadrilátero AB1C1D1 é um quadrado dado que seus lados AD1 e C1D1 são obtidos por construção. Dessa forma o ângulo AB1C1 é reto e B1AC1 é metade de um ângulo reto, logo o triângulo AB1C1 é isósceles. Assim, AB1 = B1C1. Como estamos supondo que AB e AC são comensuráveis, deve existir um segmento AP que mede AB e AC, então AB1 e AC1 também são medidos por AP, logo, podemos escrever AB1 e AC1 em termos de AB e AC, pois estes também são medidos por AP. Dessa forma, temos AB1 = AC−B1C = AC−AB, pois por construção, B1C =CB = AB. Mas AC1 = AB−BC1, logo, para escrevermos AC1 em termos de AB e AC precisamos provar antes que BC1 = B1C1. Como BC = B1C, o triângulo CB1B é isósceles e os ângulos CB1B e CBB1 são iguais. Como os ângulos C1B1C e CBC1 são retos, os ângulos C1B1B e C1BB1 são também iguais e o triângulo BB1C1 é isósceles e BC1 = B1C1, então, segue que AC1 = AB−BC1 = AB−B1C1. Como AB1C1D1 é um quadrado, temos B1C1 = AB1, então segue da Equação (4.20), que AC1 = AB−AB1 = AB− (AC−AB) = AB+AB−AC = 2AB−AC. Desse modo, temos que AC1 = 2AB−AC, como por hipótese, AB e AC são comensuráveis com relação à unidade AP, então AB1 e AC1 também o serão, como demonstrado nas Equações (4.19) e (4.21). Repetindo o procedimento, construímos um novo quadrado (ver Figura 4.11), agora sobre a diagonal de AB1C1D1, marcando sobre AC1 o ponto B2 tal que B2C1 = B1C1. Por B2, traçamos a perpendicular B2C2 em AD1. Por C2, traçamos uma paralela a AB2 e por A, traçamos uma paralela a B2C2. Essas paralelas se intersectam no ponto D2 e também são perpendiculares. Dessa forma, obtemos o quadrado AB2C2D2 com a diagonal sobre AD1. Esse processo pode ser replicado indefinidamente, até que os segmentos ABn e ACn se tornem menores que a unidade de medida AP, por menor que seja o tamanho escolhido para AP. Mas, por hipótese temos que AB e AC são medidos por AP, e mostramos que AB1 e AC1 também se medem por AP, assim como todos os ABn e ACn serão medidos pela unidade AP. Mas, em determinado momento, após um número suficiente de quadrados construídos sobre a diagonal daquele imediatamente maior, teremos ABn < ACn < AP, ou seja, obteremos um quadrado de lado ABn e diagonal ACn cujos comprimentos são menores do que a unidade de medida AP, que é uma contradição, mesmo que a unidade AP tenha sido escolhida muito pequena. Em outras palavras, a contradição se dá pelo Lema de Euclides, Definição 4.2 como já visto, afirma que se as quantidades sucessivamente retiradas de um segmento forem maiores do que a metade dos restos precedentes, estes restos podem ser tornados menores do que qualquer quantidade dada anteriormente. Logo, não podemos ter um resto menor que a unidade de medida AP, mas se tomarmos uma unidade de medida AP1 tal que AP1 < AP ou até outra unidade AP2 menor que AP1? A demonstração não está concluída. Precisamos ainda mostrar que todos os segmentos ABn e ACn possíveis de serem obtidos podem ser tornados menores do que qualquer quantidade dada. Serem menores que AP não basta. Para mostrarmos que ABn e ACn podem ser tornados menores que qualquer unidade de medida dada, revisitaremos a Definição 4.2 e lhe faremos uma interpretação geométrica, aplicando-a em dois segmentos de reta. A Figura 4.12 mostra um segmento UV tomado como unidade de medida para o segmento XZ. Retirando deste último um segmento XX1 maior que metade de XZ resta o segmento X1Z. Repetindo o processo, retiramos de X1Z o segmento X1X2 > 1 2X1Z e, assim sucessivamente, teremos um segmento XiZ l √ 2 2 e multiplicando ambos os membros dessa desigualdade por 2, temos: 2 · l > 2 · ( l √ 2 2 ) 2l > l √ 2. Dividindo por l ambos os membros de (4.23), dado que l > 0, a desigualdade se mantém, logo, 2 > √ 2. Note que √ 2 ≈ 1,4142135... < 2, portanto, a medida do lado l de um quadrado é maior que metade da medida de sua diagonal. Voltando ao caso da prova de incomensurabilidade, entre AB e AP, em cada quadrado que inserimos na Figura 4.11, o lado e a diagonal dos novos quadrados são sempre menores que o lado e a diagonal do quadrado anterior, dessa forma, temos: (i) AB1 < 1 2AB (ii) AC1 < 1 2AC Para provar o item (i), já definimos que AB1 é o lado do quadrado e AC1 é a diagonal. Somando BC1 em ambos os membros de (i), temos: AB1 +BC1 < AC1 +BC1, mas AC1 +BC1 = AB e BC1 = AB1, logo AB1 +AB1 = 2AB1 < AB⇐⇒ AB1 < 1 2 AB. Para provar o item (ii) vamos recorrer a uma construção auxiliar no quadrado ABCD, conforme a Figura 4.14 a seguir. Para obtermos o triângulo retângulo C1AN, traçamos uma reta por C1 paralela a AB e um arco de circunferência de centro em A e raio AM = 1 2AC onde marcamos o ponto N. Esse arco intersecta a perpendicular a AB que passa por C1 no ponto N, obtendo o triângulo desejado. Note que AM = AN pois ambos são raios do arco MN. Se AN é hipotenusa e AC1 é um cateto, AC1 < AN = 1 2 AC =⇒ AC1 < 1 2 AC. Conclui-se que, dado um quadrado, é possível construir um outro quadrado, sobre o lado e a diagonal do primeiro e quando seu lado e sua digonal são comensuráveis, o lado e a diagonal do novo quadrado também são. Porém, de (i) e (ii), ao repetirmos indefinidamente a construção destes quadrados, obteremos após um certo número de iterações um quadrado tal que seu lado e sua diagonal são comensuráveis e menores que AP, o que é uma contradição, pois não é possível medir um segmento por uma unidade e mostrar que esse segmento é menor que a unidade pré estabelecida. Logo, observando a Figura 4.11, a antifairese entre os segmentos AB e AC é: • AB cabe 1 vez em AC e resta AB1; • AB1 cabe 2 vezes em AB e resta AB2; • AB2 cabe 2 vezes em AB1 e resta AB3. O procedimento continua indefinidamente de modo que a antifairese apresentada pode ser escrita