A determinação de autovalores e autovetores associados a matrizes é importante, dentre outras situações, para a resolução de equações diferenciais,...

Para determinar os autovalores e autovetores da matriz dada, primeiro precisamos encontrar os autovalores, que são as raízes do polinômio característico. O polinômio característico é dado por det(A - λI) = 0, onde A é a matriz dada, λ é o autovalor e I é a matriz identidade. Para a matriz dada: A = \[ \begin{matrix} 0 & 1 \\ 4 & 0 \end{matrix} \] Substituindo na equação det(A - λI) = 0, obtemos: \[ \begin{vmatrix} -λ & 1 \\ 4 & -λ \end{vmatrix} = (-λ)(-λ) - (1)(4) = λ^2 - 4 = 0 \] Resolvendo a equação, encontramos os autovalores: λ^2 - 4 = 0 λ^2 = 4 λ = ±2 Portanto, os autovalores são λ1 = 2 e λ2 = -2. Para encontrar os autovetores associados a cada autovalor, substituímos os autovalores na equação (A - λI)v = 0, onde v é o autovetor. Para λ1 = 2: (A - 2I)v = 0 \[ \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 4 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \] -2x + y = 0 4x - 2y = 0 Resolvendo o sistema de equações, obtemos o autovetor correspondente a λ1 = 2. Para λ2 = -2, seguimos o mesmo procedimento para encontrar o autovetor correspondente a esse autovalor. Espero que isso ajude a resolver a questão!