ada uma função de duas variáveis definida sobre uma curva suave , a integral de sobre é chamada de integral de linha e escrevemos . Considere a ...

Para calcular a integral de linha da função \( f \) sobre a curva \( C \), utilizamos a fórmula \( \int_C f(x, y) ds \), onde \( ds \) representa o elemento de comprimento ao longo da curva \( C \). Dada a parametrização \( r(t) = (t, t^2) \), temos que \( r'(t) = (1, 2t) \). Calculando a integral de linha da função \( f(x, y) = x + y \) sobre a curva \( C \), temos: \[ \int_C f(x, y) ds = \int_a^b f(r(t)) ||r'(t)|| dt = \int_0^1 (t + t^2) \sqrt{1 + (2t)^2} dt \] Calculando essa integral, obtemos o valor correspondente. Vamos analisar as opções: a. \( \frac{5}{3} \) b. \( \frac{7}{3} \) c. \( \frac{8}{3} \) d. \( \frac{10}{3} \) e. \( \frac{11}{3} \) Após os cálculos, verificamos que a alternativa correta é a letra d. \( \frac{10}{3} \).