Dada uma função de duas variáveis f(x,y) definida sobre uma curva suave c,a integral de f sobre c é chamada de integral de linha e escrevemos \int...

Para calcular a integral de linha de uma função f(x,y) ao longo de uma curva c, é necessário parametrizar a curva e substituir na expressão da integral de linha. No caso, a curva c é dada por x=t^2 e y=2t, 0<=t<=3, e a função f(x,y)=y. Substituindo as expressões de x e y em f(x,y), temos que f(t) = y = 2t. Além disso, podemos calcular o comprimento da curva c utilizando a fórmula da integral de comprimento: L = \int _0^3 \sqrt{1+(dx/dt)^2} dt Substituindo as expressões de x e y em dx/dt, temos que dx/dt = 2t. Portanto: L = \int _0^3 \sqrt{1+(2t)^2} dt = \int _0^3 \sqrt{1+4t^2} dt Para calcular a integral de linha, substituímos as expressões de f(t) e ds na expressão da integral de linha: \int _c\:f(x,y)ds = \int _0^3 2t \sqrt{1+(dx/dt)^2} dt = \int _0^3 2t \sqrt{1+4t^2} dt Essa integral pode ser resolvida por substituição trigonométrica, utilizando a substituição t = (1/2)senh(u): \int _0^3 2t \sqrt{1+4t^2} dt = \int _0^{arsinh(6)} \sinh(u)^2 du Resolvendo essa integral, obtemos: \int _c\:f(x,y)ds = \frac{17}{3} \sqrt{73} Portanto, a alternativa correta é a letra D).