Se C é uma curva suave por partes, podemos definir a integral de f ao longo de C como a soma das integrais de f ao longo de cada parte suave de C. ...

Primeiro, vamos calcular as integrais de f ao longo de cada parte suave de C: - Integral de f ao longo de C1: - r(t) = (1, 1+t, 1+2t), 0 ≤ t ≤ 1 - r'(t) = (0, 1, 2) - ∫f(r(t))|r'(t)|dt = ∫(1+t) + t + 2(1+2t)dt, de 0 a 1 - = ∫5t + 3 dt, de 0 a 1 - = [5t²/2 + 3t] de 0 a 1 - = 5/2 + 3 = 11/2 - Integral de f ao longo de C2: - r(t) = (1-t, 2, 3), 0 ≤ t ≤ 1 - r'(t) = (-1, 0, 0) - ∫f(r(t))|r'(t)|dt = ∫2(1-t)dt, de 0 a 1 - = [4t - 2t²/2] de 0 a 1 - = 2 Agora, podemos calcular a integral de f ao longo de C: - ∫c z dx + x dy + y dz = ∫C1 z dx + x dy + y dz + ∫C2 z dx + x dy + y dz - = (11/2) + 2 - = 15/2 Portanto, a integral ∫c z dx + x dy + y dz é igual a 15/2.