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Para determinar se a função f(x) = x|x| é derivável em x0 = 0, precisamos verificar se a derivada existe nesse ponto. Vamos calcular a derivada de f(x) em torno de x = 0: Para x > 0: f(x) = x * x = x^2 f'(x) = 2x Para x < 0: f(x) = x * (-x) = -x^2 f'(x) = -2x Agora, vamos calcular a derivada lateral de f(x) em x = 0: f'(0-) = lim(x->0-) (f(x) - f(0)) / (x - 0) = lim(x->0-) (x^2 - 0) / x = lim(x->0-) x = 0 f'(0+) = lim(x->0+) (f(x) - f(0)) / (x - 0) = lim(x->0+) (-x^2 - 0) / x = lim(x->0+) -x = 0 Como f'(0-) = f'(0+) = 0, a função f(x) = x|x| é derivável em x0 = 0 e f ′(0) = 0.
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