Determine constantes a e b para que a função f(x) = {x^3, se x ≤ 1, ax^2 + b se x > 1 seja derivável.

Para que a função seja derivável, as duas partes da função devem se encontrar diferenciáveis no ponto de transição, que é x = 1. Para a função ser derivável em x = 1, os limites laterais das duas partes devem ser iguais. 1. Para x ≤ 1 (f(x) = x^3): A derivada de x^3 é 3x^2. Portanto, a derivada de f(x) = x^3 em x = 1 é 3. 2. Para x > 1 (f(x) = ax^2 + b): A derivada de ax^2 + b em relação a x é 2ax. Para x = 1, a derivada é 2a. Para que a função seja derivável em x = 1, os limites laterais devem ser iguais: 3 = 2a a = 3/2 Portanto, para a função ser derivável, a constante 'a' deve ser igual a 3/2. A constante 'b' pode ser qualquer valor real, pois não afeta a derivabilidade da função.