Para que os vetores u, v e w formem uma base do R3, eles devem ser linearmente independentes e gerar todo o espaço R3. Podemos verificar a linearidade dos vetores calculando o determinante da matriz formada pelos vetores como colunas: | 1 2 k | |-1 1 0 | |-2 1 3 | Calculando o determinante, temos: det = 1(1*3 - 0*1) - 2(-1*3 - 0*k) + k(-1*1 - 1*2) det = 3 + 2k - 2k det = 3 O determinante é diferente de zero, portanto, os vetores são linearmente independentes. Para verificar se geram todo o espaço R3, podemos tentar escrever o vetor (x, y, z) como combinação linear dos vetores u, v e w: (x, y, z) = a(1, -1, -2) + b(2, 1, 1) + c(k, 0, 3) Isso nos leva ao sistema de equações: a + 2b + ck = x -b + b = y -2a + b + 3c = z Simplificando a segunda equação, temos: 0 = y Isso significa que b = 0. Substituindo em todas as equações, temos: a + ck = x -2a + 3c = z Podemos reescrever a primeira equação como: a = x - ck Substituindo em todas as equações, temos: x - ck + 3c = z Isso nos dá uma equação que relaciona x, y e z. Para que os vetores u, v e w gerem todo o espaço R3, essa equação deve ser verdadeira para qualquer valor de x, y e z. Isso só é possível se o coeficiente de c for diferente de zero. Portanto, devemos ter: - k + 3 ≠ 0 Resolvendo para k, temos: k ≠ 3/1 k ≠ 3 Portanto, a alternativa correta é: E) k ≠ 6.