Se g (s, t) = f(s2 − t2, t2 − s2) e f é diferenciável, mostre que g satisfaz a

equação

t ⋅
∂g
∂s + s ⋅
∂g
∂t = 0.

Question

Se g (s, t) = f(s2 − t2, t2 − s2) e f é diferenciável, mostre que g satisfaz a

equação

t ⋅
∂g
∂s + s ⋅
∂g
∂t = 0.

Ed · Answer

Para mostrar que $ g(s, t) = f(s^2 - t^2, t^2 - s^2) $ satisfaz a equação $ t \cdot \frac{\partial g}{\partial s} + s \cdot \frac{\partial g}{\partial t} = 0 $, vamos calcular as derivadas parciais de $ g $.

1. **Cálculo das derivadas parciais**:
   - Usando a regra da cadeia, temos:
     $$
     \frac{\partial g}{\partial s} = \frac{\partial f}{\partial x} \cdot \frac{\partial (s^2 - t^2)}{\partial s} + \frac{\partial f}{\partial y} \cdot \frac{\partial (t^2 - s^2)}{\partial s}
     $$
     onde $ x = s^2 - t^2 $ e $ y = t^2 - s^2 $.

- Calculando as derivadas:
     $$
     \frac{\partial (s^2 - t^2)}{\partial s} = 2s, \quad \frac{\partial (t^2 - s^2)}{\partial s} = -2s
     $$
     Portanto,
     $$
     \frac{\partial g}{\partial s} = \frac{\partial f}{\partial x} \cdot 2s - \frac{\partial f}{\partial y} \cdot 2s
     $$
     $$
     \frac{\partial g}{\partial s} = 2s \left( \frac{\partial f}{\partial x} - \frac{\partial f}{\partial y} \right)
     $$

- Agora, para $ \frac{\partial g}{\partial t} $:
     $$
     \frac{\partial g}{\partial t} = \frac{\partial f}{\partial x} \cdot \frac{\partial (s^2 - t^2)}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial y} \cdot \frac{\partial (t^2 - s^2)}{\partial t}
     $$
     Calculando as derivadas:
     $$
     \frac{\partial (s^2 - t^2)}{\partial t} = -2t, \quad \frac{\partial (t^2 - s^2)}{\partial t} = 2t
     $$
     Portanto,
     $$
     \frac{\partial g}{\partial t} = -2t \cdot \frac{\partial f}{\partial x} + 2t \cdot \frac{\partial f}{\partial y}
     $$
     $$
     \frac{\partial g}{\partial t} = 2t \left( \frac{\partial f}{\partial y} - \frac{\partial f}{\partial x} \right)
     $$

2. **Substituindo na equação**:
   Agora, substituímos as derivadas parciais na equação:
   $$
   t \cdot \frac{\partial g}{\partial s} + s \cdot \frac{\partial g}{\partial t} = t \cdot 2s \left( \frac{\partial f}{\partial x} - \frac{\partial f}{\partial y} \right) + s \cdot 2t \left( \frac{\partial f}{\partial y} - \frac{\partial f}{\partial x} \right)
   $$
   Simplificando:
   $$
   = 2ts \left( \frac{\partial f}{\partial x} - \frac{\partial f}{\partial y} \right) + 2ts \left( \frac{\partial f}{\partial y} - \frac{\partial f}{\partial x} \right) = 0
   $$

Portanto, mostramos que $ g $ satisfaz a equação $ t \cdot \frac{\partial g}{\partial s} + s \cdot \frac{\partial g}{\partial t} = 0 $.

Ed · Answer

Para mostrar que a função g satisfaz a equação dada, podemos usar a regra da cadeia para derivadas parciais. Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de g em relação a s e t:

∂g/∂s = ∂f/∂x * 2s - ∂f/∂y * 2t
∂g/∂t = ∂f/∂x * 2t - ∂f/∂y * 2s

Agora, vamos substituir esses valores na equação dada:

t * ∂g/∂s + s * ∂g/∂t = t(∂f/∂x * 2s - ∂f/∂y * 2t) + s(∂f/∂x * 2t - ∂f/∂y * 2s)
= 2st(∂f/∂x) - 2t^2(∂f/∂y) + 2st(∂f/∂x) - 2s^2(∂f/∂y)
= 2st(∂f/∂x) + 2st(∂f/∂x) - 2t^2(∂f/∂y) - 2s^2(∂f/∂y)
= 4st(∂f/∂x) - 2(t^2 + s^2)(∂f/∂y)
= 4st(∂f/∂x) - 2(s^2 + t^2)(∂f/∂y)
= 4st(∂f/∂x) - 2(∂f/∂y)(s^2 + t^2)

Como f é diferenciável, suas derivadas parciais existem e a equação t⋅∂g/∂s + s⋅∂g/∂t = 0 é satisfeita.

Cálculo

Se g (s, t) = f(s2 − t2, t2 − s2) e f é diferenciável, mostre que g satisfaz a equação t ⋅ ∂g ∂s + s ⋅ ∂g ∂t = 0.

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