limitado na análise de opções envolvendo novos modos de transporte, novos links, políticas de preço e novas zonas de tráfego. Modelo Gravitacional ...

limitado na análise de opções envolvendo novos modos de transporte, novos links, políticas de preço e novas zonas de tráfego. Modelo Gravitacional A base conceitual deste modelo é a lei gravitacional de Newton que diz: Este modelo foi inicialmente concebido para avaliar o número de interações ou fluxos de comunicação entre dois centros quaisquer relacionando população e distância. Assume-se pelo pressuposto do modelo que a probabilidade de interação entre qualquer par de indivíduos nos dois centros é sempre igual e pode ser medido da seguinte forma: Iij= (Ppi. Ppj)/ dijy onde: Iij = num. de interações esperadas entre os centros i e j; Ppi = população do centro i (cidade, bairro, etc.); Ppj = população do centro j; dij = distância entre os centros i e j; y = potência definida para a região estudada. "a força de atração entre dois corpos é diretamente proporcional ao produto das massas dos dois corpos e inversamente proporcional ao quadrado das distâncias entre eles" t = k ij Pi Aj c ij R = A sua aplicação em transporte considera a hipótese que o número de viagens produzidas pela zona i e atraída pela zona j é proporcional: ao número total de viagens produzidas pela zona i ; ao número total de viagens atraídas pela zona j; a uma função de impedância que relacione a separação espacial ou custo de viagem entre as zonas de tráfego; A vantagem deste modelo em relação aos outros é que neste se considera além da atração o efeito da separação espacial ou facilidade de iteração entre as regiões definida pela função de impedância. Expressão Geral Por analogia a lei de Newton, a equação do modelo gravitacional toma a seguinte forma: onde: tij - num. de viagens com origem em i e destino em j; k e c - parâmetros a serem calibrados utilizando os dados do ano base; Pi - total de viagens produzidas pela zona i; Aj - total de viagens atraídas pela zona j; Rij - variável de impedância entre as zonas i e j; Na maioria dos modelos considera-se uma função de fricção (fij) definido como: 1 fij c ij e nestes casos a expressão passa a ser : tij = k. Pi.Aj.fij Uma impedância significa qualquer tipo de oposição ao movimento e pode ser definida por uma variável ou por um conjunto de variáveis tais como: distância tempo de viagem custo de transporte A constante c é definida por calibração do modelo e, não precisa ser necessariamente um valor inteiro, em diferentes estudos o valor de c ficou ente 0,6 e 3,5. Quando a impedância é definida por um conjunto destas variáveis dá-se o nome de custo generalizado ( a ser visto posteriormente). Expressão Simplificada do Modelo Uma simplificação da expressão geral pode ser feita para que se tenha apenas um parâmetro de calibração. Partindo-se da restrição de equilíbrio: Pi = ∑ tij j=1 e substituindo-se d.6 na expressão geral, tem-se : ∑ tij j =1 = k × Pi × ∑ Aj × f ij j ⇒ Pi = k × Pi × ∑ Aj × f ij j  n  −1 e consequentemente, obtém-se: k = ∑ Aj fij  Substituindo o valor de k na expressão geral obtém-se a fórmula clássica do modelo: O valor numérico da expressão entre colchetes não será alterado se multiplicarmos ou dividirmos todos os termos por uma constante. Isto implica que n n n n ij I  n = P  j A . f ij  ∑ A j . f ij  t = P  j ij ij ij I  n  ∑ A j . f ij . Kij  j ij ij ij ij I  n   o valor da atração pode ser definido como um valor de atratividade relativa entre as zonas. Para incorporar os efeitos das variáveis sócio-econômicas na calibração do modelo, introduz-se um fator kij , definido como um fator que incorpora algumas modificações de variáveis não considerados pelo modelo tais como as modificações de uso do solo, renda e etc. Associando-se este fator à expressão do modelo obtém-se : A expressão final do modelo (d.9) considera apenas uma restrição que no caso é dada pela produção de viagens (Pi). Esta restrição porém pode também ser dada em função da atração de viagens (Aj). Neste caso deve-se substituir as variáveis e a expressão toma a seguinte forma: t ij = Aj Pi . f ij n (d.9a)  Pi . f i j i A expressão (d.9) que utiliza a restrição de produção é mais usual pois considera- se que os dados de produção são ma maioria das vezes mais precisos e confiáveis. Existem também exemplos de utilização de ambas as restrições, neste caso o modelo tem dois valores de balanceamento: ai = n b j = n ∑ Aj f ij j =1 ∑ Pi f ij i =1 1 1 T A expressão final do modelo então passa a ser: tij = ai bj PiAjfij E a calibração deste modelo é feita em função dos fatores de balaceamento: a = 1 b = 1 i ∑ b A f j ∑ a P f j i i ij j i i ij i Estes fatores, conforme se pode observar, são interdependentes isto significa que para o cálculo de um conjunto necessita-se dos valores dos outros. Isto sugere um processo iterativo análogo ao de Furness que assume um conjunto de valores para o fator de impedância e inicia o processo fazendo todos os bj =1. Uma forma de calibração do modelo ( expressão d.9) bastante utilizada é aquela que se faz com base nos tempos de viagem entre as zonas de tráfego para se definir o fator de fricção referente a estes tempos. Procedimento: 1º) agrupa-se as zonas de tráfego segundo um conjunto de intervalos de tempo. Para tanto são utilizadas duas matrizes de dados atuais: uma matriz de viagens entre zonas de tráfego e uma matriz de tempo de viagem entre zonas. 2º) arbitra-se um valor inicial para Fk0 = 1,00 3º) calcula-se a distribuição com base nestes valores; 4º) Prossegue-se as iterações até que os valores calculados sejam aproximadamente iguais aos valores observados. Fazendo-se: T 0 F n = F n−1 k k n k 7.2.3 - Calibração do Modelo (I) vel de impedância elevada a um expoente que deve ser calibrado. Ou seja : Fij = Rij -c fazendo-se ln Fij = -c ln Rij o parâmetro c representa a inclinação da reta relacionando o fator de fricção e a impedância interzonal. O processo de calibração compreende as seguintes etapas: 1º) Define-se os intervalos de tempo e a distribuição acumulada das viagens nestes intervalos; 2º) arbitra-se um valor para c = 2,00; 3º) calcula-se a nova matriz de viagens com base no valor de c e verifica-se a distribuição acumulada; se esta for igual a inicial, pare; caso contrário vá para 4; 4º) Obter um novo fator de fricção fazendo-se: F*= Fn-1. F(observado)/F(calculado) a partir deste valor calcula-se um novo valor de c e volta-se a 3. 7.2.4 - Calibração do Modelo (II) 3 e Na maioria das vezes a calibração do modelo gravitacional apresenta distorções em relação aos valores da matriz observada, para um melhor ajustamento da matriz utiliza-se o fator sócio-econômico (kij). Considera-se que este fator representa algumas características socio-economicas da região não captadas pelo fator de fricção. O cálculo deste fator é feito a partir dos valores obtidos da matriz final da calibração (com os dados atuais) em relação a matriz observada, da seguinte forma: onde: Rij= razão entre o valor tij observado e o calculado; Xi= razão entre tij observado e o total de viagens produzidas por i (Pi); Em alguns modelos de transporte a utilização de duas ou mais variáveis pode