uma particula desloca-se sobre o eixo x com velocidade v(t)=-t^2+3tm/s, t>=0. calcule o espaço percorrido entre os instantes t+o e t+3.

Para calcular o espaço percorrido entre os instantes \( t+0 \) e \( t+3 \), precisamos integrar a função de velocidade dada em relação ao tempo. A função de velocidade é \( v(t) = -t^2 + 3t \) m/s. Para encontrar a função de posição \( s(t) \), que representa o espaço percorrido, integramos a função de velocidade em relação ao tempo: \[ s(t) = \int v(t) dt = \int (-t^2 + 3t) dt \] Integrando termo a termo, obtemos: \[ s(t) = -\frac{t^3}{3} + \frac{3t^2}{2} + C \] Agora, para encontrar o espaço percorrido entre \( t+0 \) e \( t+3 \), calculamos \( s(t+3) - s(t) \): \[ s(t+3) - s(t) = \left(-\frac{(t+3)^3}{3} + \frac{3(t+3)^2}{2}\right) - \left(-\frac{t^3}{3} + \frac{3t^2}{2}\right) \] Simplificando essa expressão, obtemos o espaço percorrido entre os instantes \( t+0 \) e \( t+3 \).