Dadas as funções, determine quais são homogêneas. Apenas a III. Apenas a II. Todas são homogêneas. Todas não são homogêneas. Apenas a I.

Para determinar se as funções são homogêneas, precisamos analisar a definição de homogeneidade. Uma função \( f(x, y) \) é homogênea de grau \( n \) se \( f(tx, ty) = t^n f(x, y) \) para todo \( t \neq 0 \). Vamos analisar cada função: I. \( f(x, y) = 3x^2y - 2xy^2 \) II. \( g(x, y) = x^3 + y^3 \) III. \( h(x, y) = \frac{x^2}{y} + \frac{y}{x} \) I. Para \( f(x, y) \): \( f(tx, ty) = 3(tx)^2(ty) - 2(tx)(ty)^2 = 3t^3x^2y - 2t^3xy^2 = t^3(3x^2y - 2xy^2) \) II. Para \( g(x, y) \): \( g(tx, ty) = (tx)^3 + (ty)^3 = t^3(x^3 + y^3) \) III. Para \( h(x, y) \): \( h(tx, ty) = \frac{(tx)^2}{ty} + \frac{ty}{tx} = t^2 \left( \frac{x^2}{y} + \frac{y}{x} \right) \) Portanto, apenas a função III é homogênea. A resposta correta é: Apenas a III.