81. Problema: Determine a equação da reta tangente à curva y = √x no ponto (4,2).

Para determinar a equação da reta tangente à curva \(y = \sqrt{x}\) no ponto (4,2), primeiro precisamos encontrar a derivada da função \(y = \sqrt{x}\). A derivada de \(\sqrt{x}\) é \(\frac{1}{2\sqrt{x}}\). Substituindo x = 4 na derivada, obtemos \(\frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{1}{4}\). Portanto, a inclinação da reta tangente à curva em x = 4 é \(\frac{1}{4}\). Para encontrar a equação da reta tangente, usamos a forma ponto-inclinação da equação da reta, que é \(y - y_1 = m(x - x_1)\), onde (x1, y1) é o ponto dado e m é a inclinação. Substituindo (4,2) e \(\frac{1}{4}\) na equação, obtemos: \(y - 2 = \frac{1}{4}(x - 4)\) Simplificando, a equação da reta tangente é \(y = \frac{1}{4}x + \frac{1}{2}\).