Problemas de Cálculo Avançado

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76. Problema: Determine a equação da reta tangente à curva \(y = e^x\) no ponto (1,e). 
 Resolução: A equação da reta tangente é \(y = ex - e + 1\). 
 
77. Problema: Resolva a equação diferencial \(y' = y^2 - 1\). 
 Resolução: A solução geral é \(y(x) = \tan(x + C)\). 
 
78. Problema: Determine a área da região limitada pelas curvas \(y = \sin(x)\) e \(y = 
\cos(x)\) entre \(x = 0\) e \(x = \frac{\pi}{4}\). 
 Resolução: A área é igual a \(2 - \sqrt{2}\). 
 
79. Problema: Calcule a integral tripla de \(\iiint_V xyz \, dV\), onde \(V\) é o sólido 
delimitado pela esfera \(x^2 + y^2 + z^2 = 4\) e o plano \(z = 0\). 
 Resolução: A integral tripla é igual a 0. 
 
80. Problema: Encontre a derivada parcial de \(f(x,y,z) = \ln(xy + z)\) em relação a \(y\) no 
ponto (1,1,1). 
 Resolução: A derivada parcial é \(\frac{x}{xy + z}\), que no ponto (1,1,1) é \(\frac{1}{3}\). 
 
81. Problema: Determine a equação da reta tangente à curva \(y = \sqrt{x}\) no ponto (4,2). 
 Resolução: A equação da reta tangente é \(y = \frac{1}{4}x + \frac{3}{2}\). 
 
82. Problema: Resolva a equação diferencial \(y' = e^x - y\). 
 Resolução: A solução geral é \(y(x) = (C + 1)e^x - 1\). 
 
83. Problema: Determine a área da região limitada pelas curvas \(y = x^2\) e \(y = 2 - x^2\) 
entre \(x = -1\) e \(x = 1\). 
 Resolução: A área é igual a \(\frac{16}{3}\). 
 
84. Problema: Calcule a integral tripla de \(\iiint_V x^2 y^2 z^2 \, dV\), onde \(V\) é o sólido 
delimitado pelo cilindro \(x^2 + y^2 = 1\) e os planos \(z = 0\) e \(z = 2\). 
 Resolução: A integral tripla é igual a \(\frac{32}{15}\).