2) Dado o sistema2x + ay = 63x - 2y = cnas variáveis x e y, pode-se afirmar quea) existe a tal que o sistema S não admite solução para qualquer número real c.b) existe a tal que o sistema S não admite solução para qualquer número real c.c) se a = 4/3 e c = 9, o sistema S não admite solução.d) se a ≠ 4/3 e c = 9, o sistema S admite infinitas soluções.e) se a = 4/3 e c = 9, o sistema S admite infinitas soluções.

Question

2) Dado o sistema
2x + ay = 6
3x - 2y = c
nas variáveis x e y, pode-se afirmar que
a) existe a tal que o sistema S não admite solução para qualquer...

Ed · Answer

Para analisar o sistema de equações:

1. $2x + ay = 6$
2. $3x - 2y = c$

Vamos considerar as condições para que o sistema tenha soluções.

Um sistema de duas equações lineares pode ter:
- Nenhuma solução (sistema inconsistente)
- Uma solução (sistema consistente e independente)
- Infinitas soluções (sistema consistente e dependente)

Para que o sistema não tenha solução, as retas representadas pelas equações devem ser paralelas, o que ocorre quando as razões dos coeficientes das variáveis são iguais, mas as razões das constantes são diferentes.

Vamos analisar as alternativas:

a) "existe a tal que o sistema S não admite solução para qualquer número real c." - Isso não é verdade, pois depende dos valores de $a$ e $c$.

b) "existe a tal que o sistema S não admite solução para qualquer número real c." - Repetição da alternativa anterior, portanto, também não é verdadeira.

c) "se a = 4/3 e c = 9, o sistema S não admite solução." - Para $a = 4/3$, as equações se tornam paralelas, mas precisamos verificar se $c = 9$ faz com que as retas sejam diferentes.

d) "se a ≠ 4/3 e c = 9, o sistema S admite infinitas soluções." - Isso não é verdade, pois se $a$ for diferente de $4/3$, o sistema pode ter uma solução única ou nenhuma, dependendo de $c$.

e) "se a = 4/3 e c = 9, o sistema S admite infinitas soluções." - Isso é verdade, pois se $a = 4/3$ e $c = 9$, as duas equações se tornam equivalentes, resultando em infinitas soluções.

Portanto, a alternativa correta é: **e) se a = 4/3 e c = 9, o sistema S admite infinitas soluções.**

Ed · Answer

Vamos analisar as alternativas:

a) Existe a tal que o sistema S não admite solução para qualquer número real c.
Se a = 3 e c = 0, o sistema não terá solução. Portanto, essa afirmação é verdadeira.

b) Existe a tal que o sistema S não admite solução para qualquer número real c.
Essa afirmação é semelhante à anterior e também é verdadeira.

c) Se a = 4/3 e c = 9, o sistema S não admite solução.
Se substituirmos a = 4/3 e c = 9 nas equações, o sistema terá solução. Portanto, essa afirmação é falsa.

d) Se a ≠ 4/3 e c = 9, o sistema S admite infinitas soluções.
Se a ≠ 4/3 e c = 9, o sistema terá uma única solução. Logo, essa afirmação é falsa.

e) Se a = 4/3 e c = 9, o sistema S admite infinitas soluções.
Se a = 4/3 e c = 9, o sistema terá infinitas soluções. Portanto, essa afirmação é verdadeira.

Portanto, as alternativas corretas são a) e b).

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3) Seja (3^(29999) - 997)/9999^9 = k, onde cada um dos números 9999^997 e 9999^994 são constituídos de 2015 algarismos 9. Deseja-se que k seja um número racional. Qual a maior potência de 2 que o índice i pode assumir?
a) 32
b) 16
c) 8
d) 4
e) 2

4) Para capinar um terreno circular plano, de raio 7 m, uma máquina gasta 5 horas. Quantas horas gastará essa máquina para capinar um terreno em iguais condições com 14 m de raio?
a) 10
b) 15
c) 20
d) 25
e) 30

9) Seja x um número real tal que 3x^2 - 2x + 1 = 0. Para cada valor real de x, obtém-se o resultado da soma de 2x com seu inverso. Sendo assim, a soma dos valores distintos desses resultados é
a) 5
b) 4
c) 3
d) 2
e) 1

Seja ABC um triângulo de lados medindo 8, 10 e 12. Sejam M, N e P os pés das alturas traçadas dos vértices sobre os lados desse triângulo. Sendo assim, o raio do círculo circunscrito ao triângulo MNP é

a) 5√7
b) 6√7
c) 8√7
d) 9√7
e) 10√7

ABC é um triângulo equilátero. Seja D um ponto do plano de ABC, externo a esse triângulo, tal que DB intersecta AC em E, com E pertencendo ao lado AC. Sabe-se que ˆ ˆBAD ACD 90°. Sendo assim, a razão entre as áreas dos triângulos BEC e ABE é

a) 1/3
b) 1/4
c) 2/3
d) 1/5
e) 2/5

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