Questão 8/10 - Números Complexos e Equações Algébricas Para resolver uma multiplicação entre dois números complexos utilizamos a propriedade distributiva a qual nos leva a uma simples equação. De acordo com o livro-base Números complexos e equações algébricas e sabendo que z 1 = 10 ( c o s 2 π 3 + i s e n 2 π 3 ) e z 2 = 4 ( c o s 5 π 3 + i s e n 5 π 3 ) Calcule z 1 . z 2 e indique a resposta correta: A z 1 . z 2 = 40 ( c o s 7 π 3 + i s e n 7 π 3 ) B z 1 . z 2 = 40 ( c o s 5 π 3 + i s e n 5 π 3 ) C z 1 . z 2 = 10 ( c o s 7 π 3 + i s e n 7 π 3 ) D z 1 . z 2 = 10 ( c o s 5 π 3 + i s e n 5 π 3 ) E z 1 . z 2 = 4 ( c o s 5 π 3 + i s e n 5 π 3 )

Question

Questão 8/10 - Números Complexos e Equações Algébricas Para resolver uma multiplicação entre dois números complexos utilizamos a propriedade distri...

Ed · Answer

Para resolver a multiplicação de dois números complexos na forma polar, utilizamos a seguinte propriedade:

$$ z_1 \cdot z_2 = r_1 \cdot r_2 \left( \cos(\theta_1 + \theta_2) + i \sin(\theta_1 + \theta_2) \right) $$

Onde:
- $ r_1 $ e $ r_2 $ são os módulos dos números complexos.
- $ \theta_1 $ e $ \theta_2 $ são os ângulos correspondentes.

Dado:
- $ z_1 = 10 \left( \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) + i \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) \right) $
- $ z_2 = 4 \left( \cos\left(\frac{5\pi}{3}\right) + i \sin\left(\frac{5\pi}{3}\right) \right) $

Calculando:
1. Módulo: $ r_1 \cdot r_2 = 10 \cdot 4 = 40 $
2. Ângulo: $ \theta_1 + \theta_2 = \frac{2\pi}{3} + \frac{5\pi}{3} = \frac{7\pi}{3} $

Portanto, temos:
$$ z_1 \cdot z_2 = 40 \left( \cos\left(\frac{7\pi}{3}\right) + i \sin\left(\frac{7\pi}{3}\right) \right) $$

Assim, a resposta correta é:
A) $ z_1 \cdot z_2 = 40 \left( \cos\left(\frac{7\pi}{3}\right) + i \sin\left(\frac{7\pi}{3}\right) \right) $

Ed · Answer

Para resolver a multiplicação entre dois números complexos, utilizamos a propriedade distributiva. Dados os números complexos $z_1 = 10(\cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3})$ e $z_2 = 4(\cos\frac{5\pi}{3} + i\sin\frac{5\pi}{3})$, podemos multiplicá-los da seguinte forma:

$z_1 \cdot z_2 = 10 \cdot 4 \left[ (\cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}) \cdot (\cos\frac{5\pi}{3} + i\sin\frac{5\pi}{3}) \right]$

Multiplicando os termos dentro dos parênteses, obtemos:

$z_1 \cdot z_2 = 40 \left[ \cos\frac{7\pi}{3} + i\sin\frac{7\pi}{3} \right]$

Portanto, a resposta correta é:

A) $z_1 \cdot z_2 = 40(\cos\frac{7\pi}{3} + i\sin\frac{7\pi}{3})$

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